Esercizio su serie di funzioni
Salve a tutti. 
Sto studiando la seguente serie: $sum_{n=0}^(+infty) (x^n)/((2n+1)3^n)$.
Posto $a_n=1/((2n+1)3^n)$ e facendo il limite $lim_{n \to \infty} |(a_(n+1))/(a_n)|=....=1/3$. Quindi il raggio di convergenza $rho=3$.
Pertanto la serie converge puntualmente in $(-3,3)$.
Tale serie diverge a $+infty$ per $x=3$, converge (per Leibniz) per $x=-3$.
Fisso $0
Il mio problema è il seguente: questo esercizio è stato svolto dalla professoressa e vuole verificare la convergenza totale in $[-a,a]$.
Ciò che ha scritto è quanto segue: $|f_n(x)|=(x^n)/((2n+1)3^n)<=(a^n)/((2n+1)3^n)<(a/3)^n=>sum_{n=0}^(+infty)|f_n(x)|<=sum_{n=0}^(+infty) (a/3)^n<+infty$.
Inoltre fa osservare che in $[-3,a]$, con $0 Sup|f_n(x)|<=M_n$.
Non mi è chiaro cosa abbia voluto dire con queste poche righe...
Gentilmente, potreste spiegarmi cosa significano? Per dire ciò che ho esposto sopra la prof.essa ha anche messo in ballo il secondo teorema di Abel.
Secondo teorema di Abel
"Se $sum_{n=0}^(+infty) a_n x^n$ ha raggio di convergenza $0
Dalla mie conoscenze la convergenza totale implica quella uniforme. Quindi una volta risolto questa parte penso di aver finito di studiare tale serie.
Devo usare lo stesso procedimento anche nello studio di quest'altra serie $sum_{n=0}^(+infty) x^n/(n+1)^2$?
Grazie anticipatamente a chi sarà così gentile a chiarire i dubbi imposti dalla prof.essa in questo esercizio.
Sto studiando la seguente serie: $sum_{n=0}^(+infty) (x^n)/((2n+1)3^n)$.
Posto $a_n=1/((2n+1)3^n)$ e facendo il limite $lim_{n \to \infty} |(a_(n+1))/(a_n)|=....=1/3$. Quindi il raggio di convergenza $rho=3$.
Pertanto la serie converge puntualmente in $(-3,3)$.
Tale serie diverge a $+infty$ per $x=3$, converge (per Leibniz) per $x=-3$.
Fisso $0
Il mio problema è il seguente: questo esercizio è stato svolto dalla professoressa e vuole verificare la convergenza totale in $[-a,a]$.
Ciò che ha scritto è quanto segue: $|f_n(x)|=(x^n)/((2n+1)3^n)<=(a^n)/((2n+1)3^n)<(a/3)^n=>sum_{n=0}^(+infty)|f_n(x)|<=sum_{n=0}^(+infty) (a/3)^n<+infty$.
Inoltre fa osservare che in $[-3,a]$, con $0
Non mi è chiaro cosa abbia voluto dire con queste poche righe...
Gentilmente, potreste spiegarmi cosa significano? Per dire ciò che ho esposto sopra la prof.essa ha anche messo in ballo il secondo teorema di Abel.Secondo teorema di Abel
"Se $sum_{n=0}^(+infty) a_n x^n$ ha raggio di convergenza $0
Dalla mie conoscenze la convergenza totale implica quella uniforme. Quindi una volta risolto questa parte penso di aver finito di studiare tale serie.
Devo usare lo stesso procedimento anche nello studio di quest'altra serie $sum_{n=0}^(+infty) x^n/(n+1)^2$?
Grazie anticipatamente a chi sarà così gentile a chiarire i dubbi imposti dalla prof.essa in questo esercizio.
Risposte
A me sembra che basti osservare come,
ammessa e non concessa la totale convergenza della tua serie di funzioni in $[-3,a]$ per qualche $a in(-3,3)$
(meglio allargare il campo se possibile,no
?),
saresti in grado d'individuare,per definizione,una succesione numerica a termini non negativi
(sia $M_n$ il suo termine generale,per restare in accordo con la tua notazione)
t.c. $|f_n(x)|<=M_n$ $AA n in NN,AA x in [-3,a]$ e $sum_(n=0)^(+oo)M_n$ converge:
ma ciò,per $x=-3$,importerebbe che la serie,a quel punto numerica,di termine generale $1/(2n+1)$ sarebbe,
per un criterio del confronto tra serie numeriche a termini positivi,convergente,
in aperto contrasto con la sua già nota divergenza..
Saluti dal web.
ammessa e non concessa la totale convergenza della tua serie di funzioni in $[-3,a]$ per qualche $a in(-3,3)$
(meglio allargare il campo se possibile,no
?),saresti in grado d'individuare,per definizione,una succesione numerica a termini non negativi
(sia $M_n$ il suo termine generale,per restare in accordo con la tua notazione)
t.c. $|f_n(x)|<=M_n$ $AA n in NN,AA x in [-3,a]$ e $sum_(n=0)^(+oo)M_n$ converge:
ma ciò,per $x=-3$,importerebbe che la serie,a quel punto numerica,di termine generale $1/(2n+1)$ sarebbe,
per un criterio del confronto tra serie numeriche a termini positivi,convergente,
in aperto contrasto con la sua già nota divergenza..
Saluti dal web.
Se ho ben capito non c'è convergenza totale in $[-3,a]$, in quanto per $x=-3$ la serie di tipo numerica risulta convergente con termine generale $a_n=1/(2n+1)$. Ma abbiamo visto che la serie $sum_{n=0}^(+infty) 1/(2n+1)=+infty$.
Quindi vi è un evidente contrasto tra le due cose.
Dunque su questo intervallo non vi è convergenza totale. Ma in $[a,3]$ cosa succede?
Quindi vi è un evidente contrasto tra le due cose.
Dunque su questo intervallo non vi è convergenza totale. Ma in $[a,3]$ cosa succede?
"Lord Rubik":
Se ho ben capito non c'è convergenza totale in $[-3,a]$, in quanto per $x=-3$ la serie di tipo numerica risulta convergente con termine generale $a_n=1/(2n+1)$. Ma abbiamo visto che la serie $sum_{n=0}^(+infty) 1/(2n+1)=+infty$.
Quindi vi è un evidente contrasto tra le due cose.
Parrebbe che ci siamo
!"Lord Rubik":
...Ma in $[a,3]$ cosa succede?
Ed ora non più
:ah,San Carusaro,ma come dobbiamo fare con questa dicotonia di Anima e Mente umana
?Va beh,dai:
ovviamente la stessa cosa,per motivi del tutto analoghi(basta porre $x=3$..)
!Saluti dal web.
Aaah! Penso di aver capito! Come te hai detto, in modo analogo, ponendo $x=3$ avremo che la serie numerica $sum_{n=0}^(+infty) 1/(2n+1)=+infty$, quindi di conseguenza anche nell'intervallo $[a,3]$ non può esserci convergenza totale. Pertanto la convergenza totale vi è solo all'interno dell'intervallo $[-a,a]$.
Pertanto vale ciò che la prof.essa ha scritto, cioè quanto segue: $|f_n(x)|=(x^n)/((2n+1)3^n)<=(a^n)/((2n+1)3^n)<(a/3)^n=>sum_{n=0}^(+infty)|f_n(x)|<=sum_{n=0}^(+infty) (a/3)^n<+infty$.
Ho compreso!
Grazie Theras per l'aiuto che mi hai dato! Mi sei stata di grande aiuto! Inoltre molto gentile!
Pertanto vale ciò che la prof.essa ha scritto, cioè quanto segue: $|f_n(x)|=(x^n)/((2n+1)3^n)<=(a^n)/((2n+1)3^n)<(a/3)^n=>sum_{n=0}^(+infty)|f_n(x)|<=sum_{n=0}^(+infty) (a/3)^n<+infty$.
Ho compreso!
Grazie Theras per l'aiuto che mi hai dato! Mi sei stata di grande aiuto! Inoltre molto gentile!
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