Esercizio su serie con parametro

[ciaomammalolmao]

Salve vi propongo questo esercizio: studiare al variare del parametro $\beta$ il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*(1-cos(sqrt(7+n^(2\beta))-n^\beta)$
Ho razionalizzato l’argomento del coseno che viene:
$7/(sqrt(7+n^(2\beta))+n^\beta)$
In questo modo ottengo che il coseno tende ad 1 e quindi $lim_{n\to\infty}a_n=0$ dove $a_n$ è la parte che moltiplica $(-1)^n$. Mi manca da verificare la decrescenza della successione $a_n$ per applicare il criterio di Leibniz e qui mi trovo in difficoltà: riesco a verificare che $7/(sqrt(7+n^(2\beta))+n^\beta)>7/(sqrt(7+(n+1)^(2\beta))+(n+1)^\beta)$ e quindi ottengo che l’argomento del coseno è decrescente per ogni n. Chiamato per semplicità $b_n$ l’argomento del coseno, mi rimane da capire quando $a_(n+1)cos(b_n)$ . Adesso la mia domanda è questa: è corretto dire che dato che $b_n$ decresce e assumerà i valori $7/(sqrt(8)+1)>b_n>0$ per n sufficientemente grandi (mi sembra si verifichi già da $n=2$) accadrà che $0cos(b_n)$ è verificata quando $b_(n+1)0$ sempre.

[ciaomammalolmao]

Mi sono dimenticato di dire che la convergenza a 0 di $a_n$ mi viene soddisfatta solo dal caso in cui $\beta>0$

[pilloeffe]

Ciao ciaomammalolmao,

Studierei la convergenza assoluta della serie proposta sfruttando la nota disuguaglianza seguente:

$1 - cos b_n(\beta) \le (b_n^2(\beta))/2 $

[ciaomammalolmao]

Si avevo provato a fare anche così però con la convergenza assoluta ottieni solo che converge per $\beta>1/2$ mentre le soluzioni comprendono anche maggiore di zero

[pilloeffe]

"ciaomammalolmao":ottieni solo che converge per $\beta >1/2 $

"solo"? Beh, non mi pare proprio poco, a questo punto ti basta verificare cosa accade per $0 < \beta < 1/2 $

[ciaomammalolmao]

E come faccio a considerare nello specifico il caso in cui $0<\beta<1/2$? Quindi il procedimento scritto sopra è sbagliato?

[pilloeffe]

Osserva che la serie parametrica proposta è la seguente:

$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n [1-cos(\sqrt(7+n^(2\beta))-n^{\beta})] = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n [1-cos(7/(\sqrt(7+n^(2\beta)) + n^{\beta}))] $

Posto $a_n := (-1)^n [1-cos(7/(\sqrt(7+n^(2\beta)) + n^{\beta}))] $, $\AA n >= 2 $ e $\AA \beta > 0 $ si ha:

$0 < 1 - cos(\sqrt7) - 1 + cos(7/(\sqrt8 + 1)) = a_0 + a_1 = s_1 < s_n < s_0 = a_0 = 1 - cos(\sqrt7) $

La successione delle somme parziali si mantiene sempre positiva, quelle di indice pari decrescono e quelle di indice dispari crescono. Così ad occhio direi che per $\beta > 0 $ la serie proposta converge ad una somma $S$ tale che $1 < S < 3/2 $

[ciaomammalolmao]

E se volessi risolvere l’esercizio usando un criterio di convergenza? Perché non ci hanno mai spiegato di fare così, anche se mi tornerebbe

[pilloeffe]

"ciaomammalolmao":E se volessi risolvere l’esercizio usando un criterio di convergenza?

Potresti applicare il Criterio di Dirichlet, ma non so se ve l'hanno spiegato. Con gli altri criteri di convergenza, a parte il Criterio di Leibniz che in questo caso non è di agevole applicazione (ma magari è possibile), non è possibile perché come senz'altro saprai valgono per serie a termini positivi.

[Mephlip]

@ciaomammalolmao: Il ragionamento è corretto. Non hai neanche bisogno di usare la costante $\frac{7}{\sqrt{8}+1}$, dato che se $\beta>0$ risulta $\frac{7}{\sqrt{7+n^{2\beta}}+n^\beta} \to 0^+$ per $n\to+\infty$ e quindi esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$, $[n \ge N] \implies [0

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[ciaomammalolmao]

No non lo sapevo, mi sono messo a fare i conti, grazie mille