Esercizio su regolarità e area superfici
Ciao a tutti qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio? Ho provato a risolverlo in questo modo,ma non sono sicura del procedimento.
Studiare la regolarità della seguente superficie di equazioni parametriche:
$x = e^u cos v$
$y = e^u sin v$
$z = e^uv $
$(u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1]$
e calcolarne l’area.
Innanzitutto ho calcolato le derivate parziali della superficie rispetto a $u$ e $v$:
$φ_u= (e^ucosv,e^usinv,e^uv)$
$φ_v= (-e^usinv,e^ucosv,e^u)$
Poi ho scritto la matrice jacobiana e ho calcolato i minori di ordine 2 A,B,C:
$A=e^(2u)$
$B=e^(2u) *(cosv+vsinv)$
$C=e^(2u)*(sinv-vcosv)$
A questo punto ho notato che è impossibile che A,B e C si annullino contemporaneamente perchè A è costituito da un esponenziale,che non si annulla per nessun valore di u. Quindi per ogni punto $(u,v)$ il rango della matrice jacobiana è pari a 2. Basta aver dimostrato ciò per dire che la superficie è regolare?
Per calcolare l'area , ho calcolato il prodotto vettoriale tra le derivate parziali della superficie rispetto a $u$ e $v$:
$φ_u× φ_v= (e^(2u)(sinv-vcosv),e^(2u)(-vsinv-cosv),e^(2u))$
Ho calcolato il modulo:
$|φ_u ×φ_v|=e^(2u)*(2+v^2)^(1/2)$
e sono andata ad integrare:
$∫_0^1∫_0^1e^(2u)*(2+v^2)^(1/2) dudv= (3^(1/2)-2/3*2^(1/2))*(e^2-1)$.
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Studiare la regolarità della seguente superficie di equazioni parametriche:
$x = e^u cos v$
$y = e^u sin v$
$z = e^uv $
$(u, v) ∈ [0, 1] × [0, 1]$
e calcolarne l’area.
Innanzitutto ho calcolato le derivate parziali della superficie rispetto a $u$ e $v$:
$φ_u= (e^ucosv,e^usinv,e^uv)$
$φ_v= (-e^usinv,e^ucosv,e^u)$
Poi ho scritto la matrice jacobiana e ho calcolato i minori di ordine 2 A,B,C:
$A=e^(2u)$
$B=e^(2u) *(cosv+vsinv)$
$C=e^(2u)*(sinv-vcosv)$
A questo punto ho notato che è impossibile che A,B e C si annullino contemporaneamente perchè A è costituito da un esponenziale,che non si annulla per nessun valore di u. Quindi per ogni punto $(u,v)$ il rango della matrice jacobiana è pari a 2. Basta aver dimostrato ciò per dire che la superficie è regolare?
Per calcolare l'area , ho calcolato il prodotto vettoriale tra le derivate parziali della superficie rispetto a $u$ e $v$:
$φ_u× φ_v= (e^(2u)(sinv-vcosv),e^(2u)(-vsinv-cosv),e^(2u))$
Ho calcolato il modulo:
$|φ_u ×φ_v|=e^(2u)*(2+v^2)^(1/2)$
e sono andata ad integrare:
$∫_0^1∫_0^1e^(2u)*(2+v^2)^(1/2) dudv= (3^(1/2)-2/3*2^(1/2))*(e^2-1)$.
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
il procedimento è giusto, per dimostrare la regolarità potevi anche calcolare subito il prodotto vettoriale e verificare che non si annulla mai. Se noti le componenti sono le stesse della matrice jacobiana eccetto i segni
Ok grazie mille,però non capisco una cosa:basta verificare che A,B, e C non si annullano mai contemporaneamente per dire che la superficie è regolare? O devo verificare anche qualche altra condizione?
riferendosi alla matrice jacobiana quello che occorre dimostrare è che il rango sia 2, e tu l'hai fatto calcolando i minori
Sì questa condizione l'ho verificata ,ma se non sbaglio le condizioni che devono essere verificate affinchè la superficie sia regolare sono 3,cioè che le componenti della superficie siano di classe $C'$ e che la superficie sia iniettiva(?),oltre al rango pari a 2 della matrice jacobiana! Credo di non aver verificato tutte le condizioni, o sbaglio?
Se la matrice jacobiana è ben definita per qualsiasi valore di $u$ e $v$ allora le componenti sono sicuramente $C^1$ senza dover fare altre verifiche, il problema ci sarebbe se in alcuni punti qualche elemento della matrice è infinito o non esiste.
Mentre la condizione di iniettività mi sembra che equivale a quella del rango
Mentre la condizione di iniettività mi sembra che equivale a quella del rango
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