Esercizio su radici quadrate nei numeri complessi
Ciao ragazzi devo calcolare le radici quadrate del seguente numero complesso:
$z=-ipi$
Mi trovo nella situazione in cui b<0 quindi utilizzo la seguente formula:
$z=+-(sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)-isqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2))$
$z=+-(sqrt((sqrt(0+pi^2)+0)/2)-isqrt((sqrt(0+pi^2)-0)/2))$
$z=+-(sqrt(pi/2)-isqrt(pi/2))$
Non dispongo del risultato e vorrei capire appunto se procedimento e risultato sono corretti, grazie
$z=-ipi$
Mi trovo nella situazione in cui b<0 quindi utilizzo la seguente formula:
$z=+-(sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)-isqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2))$
$z=+-(sqrt((sqrt(0+pi^2)+0)/2)-isqrt((sqrt(0+pi^2)-0)/2))$
$z=+-(sqrt(pi/2)-isqrt(pi/2))$
Non dispongo del risultato e vorrei capire appunto se procedimento e risultato sono corretti, grazie
Risposte
Ciao! Il risultato è giusto, il procedimento non lo controllo neanche morto perché credo sia un uso troppo automatico delle formule che ti porterà solo sciagura (alla fine è un'applicazione di formule, appunto; puoi controllarlo anche da te verificando per sufficienti volte di non aver sbagliato i conti).
È molto più sensato invece, secondo me, aiutarti a liberarti di questi automatismi malsani, facendoti notare che stai semplicemente cercando gli $w\in\mathbb{C}$ tali che $w=z^{\frac{1}{2}}=(-i \pi)^{\frac{1}{2}}$, quindi l'approccio decisamente più sensato è scrivere $-i$ in forma esponenziale (ricordando la polidromia della radice in $\mathbb{C}$) e da quello dedurre i valori di $w$.
Per dirti i vantaggi di questo approccio: pensi davvero che tra 6 mesi ti ricorderai di quelle formule? Invece ti posso garantire che, capito cosa significa scrivere un numero complesso in forma esponenziale, non te lo scorderai più.
È molto più sensato invece, secondo me, aiutarti a liberarti di questi automatismi malsani, facendoti notare che stai semplicemente cercando gli $w\in\mathbb{C}$ tali che $w=z^{\frac{1}{2}}=(-i \pi)^{\frac{1}{2}}$, quindi l'approccio decisamente più sensato è scrivere $-i$ in forma esponenziale (ricordando la polidromia della radice in $\mathbb{C}$) e da quello dedurre i valori di $w$.
Per dirti i vantaggi di questo approccio: pensi davvero che tra 6 mesi ti ricorderai di quelle formule? Invece ti posso garantire che, capito cosa significa scrivere un numero complesso in forma esponenziale, non te lo scorderai più.
@ smule98: Ma dove le hai prese quelle formule?
Sono abominevoli...
Sono abominevoli...
"gugo82":
@ smule98: Ma dove le hai prese quelle formule?
Sono abominevoli...
Dal professore di analisi purtroppo...
"Mephlip":
Ciao! Il risultato è giusto, il procedimento non lo controllo neanche morto perché credo sia un uso troppo automatico delle formule che ti porterà solo sciagura (alla fine è un'applicazione di formule, appunto; puoi controllarlo anche da te verificando per sufficienti volte di non aver sbagliato i conti).
È molto più sensato invece, secondo me, aiutarti a liberarti di questi automatismi malsani, facendoti notare che stai semplicemente cercando gli $ w\in\mathbb{C} $ tali che $ w=z^{\frac{1}{2}}=(-i \pi)^{\frac{1}{2}} $, quindi l'approccio decisamente più sensato è scrivere $ -i $ in forma esponenziale (ricordando la polidromia della radice in $ \mathbb{C} $) e da quello dedurre i valori di $ w $.
Per dirti i vantaggi di questo approccio: pensi davvero che tra 6 mesi ti ricorderai di quelle formule? Invece ti posso garantire che, capito cosa significa scrivere un numero complesso in forma esponenziale, non te lo scorderai più.
Ok in un caso però in cui devo trovare le radici di $z^8-16=0$ procedendo in questo modo:
$z=sqrt(2)$
$w=z^(1/2)rarr w=(sqrt(2))^(1/2)$ e poi come continuo?
Ciao smule98,
No, non ci sei...
Scrivi $z = \rho e^{i \theta} \implies z^8 = \rho^8 e^{i 8\theta} \implies \rho^8 e^{i 8\theta} = 16 e^{i 0} $
A questo punto trovi $\rho = sqrt{2} $ e $ 8\theta = 2k\pi \implies \theta = k\pi/4, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.$ (8 soluzioni, di cui solo 2 reali: quella reale positiva l'hai già trovata...).
In alternativa in questo caso puoi usare facilmente la scomposizione:
$(z^2 - 2)(z^2 + 2)(z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2) = 0 $
No, non ci sei...
Scrivi $z = \rho e^{i \theta} \implies z^8 = \rho^8 e^{i 8\theta} \implies \rho^8 e^{i 8\theta} = 16 e^{i 0} $
A questo punto trovi $\rho = sqrt{2} $ e $ 8\theta = 2k\pi \implies \theta = k\pi/4, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.$ (8 soluzioni, di cui solo 2 reali: quella reale positiva l'hai già trovata...).
In alternativa in questo caso puoi usare facilmente la scomposizione:
$(z^2 - 2)(z^2 + 2)(z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2) = 0 $
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