Esercizio su problema di Cauchy: estensione della soluzione
Buongiorno a tutti,
sono nuovo del Forum quindi vi prego di scusarmi per eventuali errori nella formulazione della domanda o la scrittura delle formule.
Sono alle prese con un esercizio su un problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=max{sqrt(|y(t)|) , y(t)^2 } ),( y(0)=-1):} $
le richieste dell'esercizio sono:
1) Provare la non unicità delle soluzioni massimali, determinando il piu grande intervallo dove la soluzione del problema è unica;
2) Stabilire se esistono soluzioni estendibili sull'intervallo $ [0,+ oo ] $;
3) Stabilire se esistono soluzioni definite su R;
4)stabilire se esistono soluzioni che non siano estendibili su R;
1) Per $ y!= +- 1 $ la funzione è C1 e quindi loc. Lipchitziana e quindi il PDC ammette una ed una sola soluzione massimale. Per $ y= +- 1 $ la funzione è continua ma non derivabile, per cui non ho garantita la lipchitzianità e quindi l'esistenza unica della soluzione. qui sorge il primo dubbio: come faccio a dimostrare che $ f(y,t) $ non è lipchitziana? devo usare la definizione?
2) Qui proprio non riesco a procedere. Il professore purtroppo non è riuscito a finire il programma (da quanto era/è vasto) e non riesco a capire a fondo il concetto di estendibilità.
3) Qui avevo pensato di risolvere il PDC se le soluzioni ottenute sono definite su tutto R o ho qualche problema in alcuni punti.
4) (vedi punto 2)
Spero che qualcuno possa aiutarmi, intanto ringrazio
sono nuovo del Forum quindi vi prego di scusarmi per eventuali errori nella formulazione della domanda o la scrittura delle formule.
Sono alle prese con un esercizio su un problema di Cauchy:
$ { ( y'(t)=max{sqrt(|y(t)|) , y(t)^2 } ),( y(0)=-1):} $
le richieste dell'esercizio sono:
1) Provare la non unicità delle soluzioni massimali, determinando il piu grande intervallo dove la soluzione del problema è unica;
2) Stabilire se esistono soluzioni estendibili sull'intervallo $ [0,+ oo ] $;
3) Stabilire se esistono soluzioni definite su R;
4)stabilire se esistono soluzioni che non siano estendibili su R;
1) Per $ y!= +- 1 $ la funzione è C1 e quindi loc. Lipchitziana e quindi il PDC ammette una ed una sola soluzione massimale. Per $ y= +- 1 $ la funzione è continua ma non derivabile, per cui non ho garantita la lipchitzianità e quindi l'esistenza unica della soluzione. qui sorge il primo dubbio: come faccio a dimostrare che $ f(y,t) $ non è lipchitziana? devo usare la definizione?
2) Qui proprio non riesco a procedere. Il professore purtroppo non è riuscito a finire il programma (da quanto era/è vasto) e non riesco a capire a fondo il concetto di estendibilità.
3) Qui avevo pensato di risolvere il PDC se le soluzioni ottenute sono definite su tutto R o ho qualche problema in alcuni punti.
4) (vedi punto 2)
Spero che qualcuno possa aiutarmi, intanto ringrazio
Risposte
In realtà non serve scomodare troppi risultati fini sullo studio qualitativo delle EDO, ma basta ragionare un po'.
Chiamiamo, come al solito $f(t,y)$ il secondo membro, i.e. $f(t,y):= max \{ sqrt(|y|) , y^2\}$.
Osserviamo innanzitutto che $f(t,0)=0$, quindi la funzione $y^**(t)=0$ (il cui grafico è la retta di equazione $y=0$, asse dei tempi) è una soluzione costante della EDO.
La funzione $f$ è definita e continua in $Omega =RR^2$ e la derivata rispetto ad $y$ è continua in $RR^2$ privato dei punti delle rette di equazioni $y=0$, $y=+- 1$ e limitata in $RR^2$ privato della retta $y=0$; ciò implica che $f$ è lipschitziana rispetto ad $y$ in $RR^2$ privato della retta $y=0$, cosicché c'è regime di unicità locale in ognuno dei due semipiani $y<0$ ed $y>0$.
Ne viene che il P.d.C. con dato iniziale generico:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = \max \Big\{ \sqrt{|y(t)|, y^2(t)}\Big\}\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
\]
ha unica soluzione massimale in regime di unicità $y(t) := y(t;t_0,y_0)$ (ossia, il cui grafico cade in $RR^2-\{y=0\}$) non appena si prende un qualsiasi punto iniziale $(t_0,y_0)$ con $y_0!= 0$.
Inoltre, dato che $f(t,y)>=0$ ovunque in $RR^2$, le soluzioni massimali del P.d.C. sono sempre crescenti. Ciò è molto importante, perché ci assicura che se $y_0<0$ [risp. $y_0>0$] esiste un $T^+=T^+(t_0,y_0)>t_0$ [risp. $T_(-) =T_(-) (t_0,y_0)
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = y^2(t)\\
y(t_1) = y_1
\end{cases}
\]
che ha il secondo membro superlineare e, perciò, la soluzione massimale $y(t)$ "esplode" in un tempo finito nel passato [risp. nel futuro] $T_(-) =T_(-) (t_0,y_0)t_1$].
Ricapitolando, la situazione è questa: le soluzioni massimali in regime di unicità del P.d.C. sono tutte definite in intervalli del tipo $]T_- ,T^+[$ (con $-oo < T_- < t_0 < T^+ <+oo$) in modo che:
\[
\begin{split}
y_0 < 0\quad &\Rightarrow\quad \left\{ \begin{split} \lim_{t\to T_-} y(t) &= -\infty \\ \lim_{t\to T^+} y(t) &= 0 \end{split}\right. \\
y_0 > 0\quad &\Rightarrow\quad \left\{ \begin{split} \lim_{t\to T_-} y(t) &= 0 \\ \lim_{t\to T^+} y(t) &= +\infty \end{split}\right. \; .
\end{split}
\]
Poi, ovviamente, si può decidere di prolungare "alla zozzona" le soluzioni massimali in regime di unicità per far uscire cose divertenti.
Supponiamo $y_0<0$, tanto per capirci. Il grafico di una soluzione massimale in regime di unicità è una cosa del tipo:
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);[/asvg]
(ho disegnato la soluzione del tuo P.d.C. con dato iniziale $y(0)=-1$). Visto che $lim_{t-> T^+}y(t)=0$, si può porre $y(T^+)=0$ per continuità ed ottenere che anche $\lim_{t\to T^+} y^\prime (t) = 0$; dunque i grafici della soluzione $y(t)$ e della soluzione costante $y^**(t)=0$ si raccordano con continuità della derivata prima in $T^+$. Ne consegue che la funzione:
\[
Y(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } T_- < t
\end{cases}
\]
è un prolungamento di $y(t)$ che soddisfa la EDO in $]T_- , +oo[$ con condizione $Y(t_0)=y_0$; quindi $Y(t)$ è una soluzione del P.d.C. che risulta essere un prolungamento della soluzione massimale in regime di unicità $y(t)$ definito su una semiretta non limitata superiormente.
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);
stroke="orange";
line([2,0],[5,0]);[/asvg]
Tuttavia, la $Y(t)$ non è l'unico prolungamento di $y(t)$ che può essere determinato: infatti, scelto un punto $t_1>t_0$ ed un valore $y_1>0$ in modo che la soluzione massimale in regime di unicità $eta (t) := y(t;t_1y_1)$ sia definita in un intervallo con estremo inferiore $T_(-) (t_1,y_1) >= T^+ (t_0,y_0)$, anche la funzione:
\[
N(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } T_-(t_0,y_0) < t
\eta (t) &\text{, se } T_-(t_1,y_1) < t < T^+(t_1,y_1)
\end{cases}
\]
è un prolungamento di $y(t)$ che soddisfa la EDO e la condizione $N(t_0)=y_0$; quindi $N(t)$ è una soluzione del P.d.C. che risulta essere un prolungamento della soluzione massimale in regime di unicità $y(t)$ ad un intervallo limitato $]T_-(t_0,y_0), T^+ (t_1,y_1)[$, ai bordi del quale la soluzione "esplode"... Ed ovviamente, di prolungamenti siffatti ne esistono infiniti.
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);
stroke="orange";
line([2,0],[3,0]);
stroke="magenta";
plot("(x-3)^2/4",3,5); plot("1/(6-x)",5,6);[/asvg]
Per concludere, risolviamo esplicitamente il tuo P.d.C. con condizione iniziale $y(0)=-1$.
La soluzione massimale in regime di unicità $y(t):=y(t;0,-1)$ è negativa e crescente strettamente; dunque per $t<0$ risulta $y(t)<-1$ e per $t>0$ risulta $-1
\begin{cases}
y^\prime (t) = y^2(t) &\text{, se } t<0\\
y(0) = -1
\end{cases}\quad \text{e}\qquad \begin{cases}
y^\prime (t) = \sqrt{-y(t)} &\text{, se } t>0\\
y(0) = -1
\end{cases}\; ;
\]
integrando le due EDO (sfruttando le condizioni iniziali e le funzioni integrali con punto iniziale in $0$), si ottiene:
\[
y(t) = \begin{cases} - \frac{1}{t+1} & \text{, se } -1
\end{cases}
\]
che è l'espressione della soluzione massimale in regime di unicità cercata (ed il suo intervallo di definizione è quello di estremi $T_(-) = -1$, in cui c'è "esplosione", e $T^+ = 2$, in cui c'è collisione con la zona di non unicità).
Chiamiamo, come al solito $f(t,y)$ il secondo membro, i.e. $f(t,y):= max \{ sqrt(|y|) , y^2\}$.
Osserviamo innanzitutto che $f(t,0)=0$, quindi la funzione $y^**(t)=0$ (il cui grafico è la retta di equazione $y=0$, asse dei tempi) è una soluzione costante della EDO.
La funzione $f$ è definita e continua in $Omega =RR^2$ e la derivata rispetto ad $y$ è continua in $RR^2$ privato dei punti delle rette di equazioni $y=0$, $y=+- 1$ e limitata in $RR^2$ privato della retta $y=0$; ciò implica che $f$ è lipschitziana rispetto ad $y$ in $RR^2$ privato della retta $y=0$, cosicché c'è regime di unicità locale in ognuno dei due semipiani $y<0$ ed $y>0$.
Ne viene che il P.d.C. con dato iniziale generico:
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = \max \Big\{ \sqrt{|y(t)|, y^2(t)}\Big\}\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
\]
ha unica soluzione massimale in regime di unicità $y(t) := y(t;t_0,y_0)$ (ossia, il cui grafico cade in $RR^2-\{y=0\}$) non appena si prende un qualsiasi punto iniziale $(t_0,y_0)$ con $y_0!= 0$.
Inoltre, dato che $f(t,y)>=0$ ovunque in $RR^2$, le soluzioni massimali del P.d.C. sono sempre crescenti. Ciò è molto importante, perché ci assicura che se $y_0<0$ [risp. $y_0>0$] esiste un $T^+=T^+(t_0,y_0)>t_0$ [risp. $T_(-) =T_(-) (t_0,y_0)
\[
\begin{cases}
y^\prime (t) = y^2(t)\\
y(t_1) = y_1
\end{cases}
\]
che ha il secondo membro superlineare e, perciò, la soluzione massimale $y(t)$ "esplode" in un tempo finito nel passato [risp. nel futuro] $T_(-) =T_(-) (t_0,y_0)
Ricapitolando, la situazione è questa: le soluzioni massimali in regime di unicità del P.d.C. sono tutte definite in intervalli del tipo $]T_- ,T^+[$ (con $-oo < T_- < t_0 < T^+ <+oo$) in modo che:
\[
\begin{split}
y_0 < 0\quad &\Rightarrow\quad \left\{ \begin{split} \lim_{t\to T_-} y(t) &= -\infty \\ \lim_{t\to T^+} y(t) &= 0 \end{split}\right. \\
y_0 > 0\quad &\Rightarrow\quad \left\{ \begin{split} \lim_{t\to T_-} y(t) &= 0 \\ \lim_{t\to T^+} y(t) &= +\infty \end{split}\right. \; .
\end{split}
\]
Poi, ovviamente, si può decidere di prolungare "alla zozzona" le soluzioni massimali in regime di unicità per far uscire cose divertenti.
Supponiamo $y_0<0$, tanto per capirci. Il grafico di una soluzione massimale in regime di unicità è una cosa del tipo:
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);[/asvg]
(ho disegnato la soluzione del tuo P.d.C. con dato iniziale $y(0)=-1$). Visto che $lim_{t-> T^+}y(t)=0$, si può porre $y(T^+)=0$ per continuità ed ottenere che anche $\lim_{t\to T^+} y^\prime (t) = 0$; dunque i grafici della soluzione $y(t)$ e della soluzione costante $y^**(t)=0$ si raccordano con continuità della derivata prima in $T^+$. Ne consegue che la funzione:
\[
Y(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } T_- < t
\end{cases}
\]
è un prolungamento di $y(t)$ che soddisfa la EDO in $]T_- , +oo[$ con condizione $Y(t_0)=y_0$; quindi $Y(t)$ è una soluzione del P.d.C. che risulta essere un prolungamento della soluzione massimale in regime di unicità $y(t)$ definito su una semiretta non limitata superiormente.
[asvg]xmin=-2; xmax=4; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);
stroke="orange";
line([2,0],[5,0]);[/asvg]
Tuttavia, la $Y(t)$ non è l'unico prolungamento di $y(t)$ che può essere determinato: infatti, scelto un punto $t_1>t_0$ ed un valore $y_1>0$ in modo che la soluzione massimale in regime di unicità $eta (t) := y(t;t_1y_1)$ sia definita in un intervallo con estremo inferiore $T_(-) (t_1,y_1) >= T^+ (t_0,y_0)$, anche la funzione:
\[
N(t) := \begin{cases} y(t) &\text{, se } T_-(t_0,y_0) < t
\eta (t) &\text{, se } T_-(t_1,y_1) < t < T^+(t_1,y_1)
\end{cases}
\]
è un prolungamento di $y(t)$ che soddisfa la EDO e la condizione $N(t_0)=y_0$; quindi $N(t)$ è una soluzione del P.d.C. che risulta essere un prolungamento della soluzione massimale in regime di unicità $y(t)$ ad un intervallo limitato $]T_-(t_0,y_0), T^+ (t_1,y_1)[$, ai bordi del quale la soluzione "esplode"... Ed ovviamente, di prolungamenti siffatti ne esistono infiniti.
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("-1/(x+1)",-1,0); plot("-(1-x/2)^2",0,2);
stroke="orange";
line([2,0],[3,0]);
stroke="magenta";
plot("(x-3)^2/4",3,5); plot("1/(6-x)",5,6);[/asvg]
Per concludere, risolviamo esplicitamente il tuo P.d.C. con condizione iniziale $y(0)=-1$.
La soluzione massimale in regime di unicità $y(t):=y(t;0,-1)$ è negativa e crescente strettamente; dunque per $t<0$ risulta $y(t)<-1$ e per $t>0$ risulta $-1
\begin{cases}
y^\prime (t) = y^2(t) &\text{, se } t<0\\
y(0) = -1
\end{cases}\quad \text{e}\qquad \begin{cases}
y^\prime (t) = \sqrt{-y(t)} &\text{, se } t>0\\
y(0) = -1
\end{cases}\; ;
\]
integrando le due EDO (sfruttando le condizioni iniziali e le funzioni integrali con punto iniziale in $0$), si ottiene:
\[
y(t) = \begin{cases} - \frac{1}{t+1} & \text{, se } -1
\end{cases}
\]
che è l'espressione della soluzione massimale in regime di unicità cercata (ed il suo intervallo di definizione è quello di estremi $T_(-) = -1$, in cui c'è "esplosione", e $T^+ = 2$, in cui c'è collisione con la zona di non unicità).
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