Esercizio su principio del massimo

[robbstark1]

Vorrei essere sicuro dello svolgimento del seguente esercizio; un po' tecnico e poco interessante per la verità, ma non si sa mai che qualcosa del genere possa essere chiesto in un esame:
Enunciare un principio del massimo in forma debola e in forma forte per le soluzioni positive della disequazione
$-(ku')' +qu <= 0$ per $a<=x<=b$, dove $k(x)>0$ e $q(x)>=0$.
La teoria è la seguente:

Principio del massimo in forma debole per $-u^{,,} <= 0$ su $ ]0,1[$: Se il massimo sul bordo del dominio è $M$, allora su tutto il dominio $u <=M$.
Dimostrazione: considero $v=u+epsilonx^2$. Si ha $v^{,,}=u^{,,}+2epsilon$, dunque $v$ soddisfa $-v^{,,}<0$, dunque sappiamo che per $v$ il massimo è sul bordo. Inoltre, $u+epsilon x^2=v<=M+epsilon$, $u<= M+epsilon, AA epsilon>0$, quindi $u(x)<=M$.

Principio del massimo in forma forte per $-u^{,,}<=0$ su $]0,1[$: Se $u <=M$ se e $u(x_0)=M$, con $x_0$ punto interno al dominio, allora $u$ è costante.
Dimostrazione: sia per assurdo $u(x_1) x_0$.
Sia $z(x) = e^(x-x_0) -1$; $z>0$ per $x>x_0$, $z<0$ per $x Considero $v(x)=u(x)+epsilon z(x)$. Si ha $v^{,,}=u^{,,}+epsilon e^(x-x_0)$, che soddisfa $-v^{,,} <0$ nell'intervallo $[0,x_1]$.
Si ha inoltre $v(0)

Soluzione dell'esercizio:
Riscrivo la disequazione come: $-k'u'-ku''+qu<=0$.
In precedenza ho dimostrato che se $-k'u'-ku''+qu<0$ e $u$ è positiva, non può avere massimo interno.
Provo a dimostrare il principio in forma debole (l'enunciato è ovvio):
Considero $v=u+epsilon*(x-a)^2$. Dunque $-k'v'-kv''+qv=-k'u'-k'*2epsilon(x-a)-ku''-2k epsilon +qu+q epsilon (x-a)^2$.
Mi servirebbe che $-k'*2epsilon(x-a) -2k epsilon +q epsilon (x-a)^2 < 0$. Questo è senz'altro vero in un intorno di $a$ indipendente da $epsilon$.
A questo punto l'idea sarebbe di considerare una catena di intervalli ottenuti sostituendo $a$ con altri punti nella definizione di $v$. Il termine catena non è casuale, poiché intendo prenderli in successione in modo che ciascuno sia parzialmente sovrapposto al precedente. Questo sarebbe sicuramente fattibile se $k$ e $q$ fossero costanti, in modo che potrei prendere intervalli tutti di ampiezza $sqrt((2k)/q)$ per esempio.
La cosa si complica un po' considerando la dipendenza di $q$ e $k$ da $x$. A me serve che:
$(x-a)^2 < (k'*2 (x-a) + 2 k )/q$
Il secondo membro è sicuramente positivo in un intorno destro di $a$, ma quanto è grande questo intorno?

P.s.: è possibile che l'esercizio sottintenda $k$ e $q$ costanti, non è chiarissimo su questo. In tal caso va bene il ragionamento fatto?

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Risposte

robbstark1

31 mag 2012, 19:08

Riporto su il problema, perché ancora non l'ho risolto del tutto.

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robbstark1

10 giu 2012, 09:36

Mi sono accorto che c'erano problemi di visualizzazione nella parte in spoiler. Adesso l'ho corretta.

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[robbstark1]

Riporto su il problema, perché ancora non l'ho risolto del tutto.

[robbstark1]

Mi sono accorto che c'erano problemi di visualizzazione nella parte in spoiler. Adesso l'ho corretta.