Esercizio su potenze complesse
Ciao a tutti!
Nel mezzo di un esercizio mi trovo a dovere dimostrare una cosa, e non riesco. Vi riassumo:
$g$ è un numero naturale, e abbiamo i numeri complessi $\alpha_1$,...,$\alpha_{2g}$.
Sappiamo (è la prima parte dell'esercizio) che per ogni $n$ vale:
$ . |sum_(i = 1)^(2g)\alpha_i^n|\leq 2g sqrt{q^n} $ , con $q$ che è potenza di un primo (anche se in questa sede credo importi solo che è intero maggiore di 1).
Bisogna dimostrare che vale: $|\alpha_i| \leq sqrt{q}$, per ogni $i$.
Viene suggerito di ragionare per assurdo, assumendo che ci siano degli indici per cui $|\alpha_i| > sqrt{q}$, e poi osservando il seguente ragionamento: riordinare gli $\alpha_i$ in modo da avere prima quelli diversi da 0, diciamo che sono i primi $m$.
Considerare la m-pla normalizzata $\beta=(\alpha_1/|\alpha_1|,...,\alpha_m/|\alpha_m|) in (S^1)^m$, e la successione $\beta^n$ (con cui credo si intendano gli $\alpha_i^n/|\alpha_i|^n$) e mostrare che ammette una sottosuccessione convergente a $(1,...,1)$.
Da questo dedurre la contraddizione.
Ora intanto non riesco a dim. che la successione ammette sottosucc. convergente a (1,...,1), l'unica cosa che riesco a dire è che essendo a valori in un compatto ammette certamente sottosucc. convergente.
Poi anche ammettendo di averlo provato non so come arrivare alla contraddizione cercata..
Se qualcuno ha suggerimenti, indicazioni o idee gli sarei molto grata.
Grazie,
Claudia
Nel mezzo di un esercizio mi trovo a dovere dimostrare una cosa, e non riesco. Vi riassumo:
$g$ è un numero naturale, e abbiamo i numeri complessi $\alpha_1$,...,$\alpha_{2g}$.
Sappiamo (è la prima parte dell'esercizio) che per ogni $n$ vale:
$ . |sum_(i = 1)^(2g)\alpha_i^n|\leq 2g sqrt{q^n} $ , con $q$ che è potenza di un primo (anche se in questa sede credo importi solo che è intero maggiore di 1).
Bisogna dimostrare che vale: $|\alpha_i| \leq sqrt{q}$, per ogni $i$.
Viene suggerito di ragionare per assurdo, assumendo che ci siano degli indici per cui $|\alpha_i| > sqrt{q}$, e poi osservando il seguente ragionamento: riordinare gli $\alpha_i$ in modo da avere prima quelli diversi da 0, diciamo che sono i primi $m$.
Considerare la m-pla normalizzata $\beta=(\alpha_1/|\alpha_1|,...,\alpha_m/|\alpha_m|) in (S^1)^m$, e la successione $\beta^n$ (con cui credo si intendano gli $\alpha_i^n/|\alpha_i|^n$) e mostrare che ammette una sottosuccessione convergente a $(1,...,1)$.
Da questo dedurre la contraddizione.
Ora intanto non riesco a dim. che la successione ammette sottosucc. convergente a (1,...,1), l'unica cosa che riesco a dire è che essendo a valori in un compatto ammette certamente sottosucc. convergente.
Poi anche ammettendo di averlo provato non so come arrivare alla contraddizione cercata..
Se qualcuno ha suggerimenti, indicazioni o idee gli sarei molto grata.
Grazie,
Claudia
Risposte
Ciao Claudia, ci ho pensato un po'. Avrei un'idea per ottenere la contraddizione una volta mostrata l'esistenza di una sottosuccessione di $(beta^n)_n$ convergente a $(1 ldots 1)$. Infatti supponiamo che una tale sottosuccessione esista e continuiamo a denotarla con $(beta^n)$, con abuso di notazione. Stiamo asserendo che per ogni $i=1...2g$ esiste una successione complessa infinitesima $epsilon_{i, n}$ tale che
$alpha_i^n=|alpha_i|^n+epsilon_{i, n}|alpha_i|^n$
e quindi (da adesso in poi $i$ viaggia sempre da $1$ a $2g$), l'ipotesi diventa
$ |(sum_i |alpha_i|^n+sum_i epsilon_{i,n}|alpha_i|^n)| le 2g(sqrt(q))^n$;
ora usando la disuguaglianza $|a|-|b| le |a+b|$ ricaviamo
$sum_i |alpha_i|^n - |(\sum_iepsilon_{i, n} |alpha_i|^n)| \le 2g (sqrt(q))^n$. (1)
Osserviamo ora che per ogni $n$ abbastanza grande da rendere $|epsilon_{i,n}|<1/2$ per ogni $i$, abbiamo la stima
$|(sum_i epsilon_{i, n}|alpha_i|^n)|\le (sum_i |epsilon_{i, n}| |alpha_i^n|) \le 1/2 \sum_{i}|alpha_i|^n$,
che inserita nella (1) fornisce
$1/2sum_i |alpha_i|^n \le 2g(sqrt(q))^n$,
da cui la contraddizione perché a sinistra avresti una successione che diverge con un ordine superiore rispetto alla successione a destra.
Vedi un po' se ti convince. Se non ci sono errori, comunque, questa è evidentemente la parte soft dell'esercizio. Adesso si tratta di mostrare che una tale successione esiste e su questo non mi è ancora venuto in mente niente.
[edit]apportata una correzione: nella versione precedente c'era, implicito, il passaggio sbagliatissimo
$sum_i (epsilon_{i,n}alpha_i^n)=(sum_i epsilon_{i, n})(sum_{i}alpha_i^n)$.
Scusa, Claudia.
$alpha_i^n=|alpha_i|^n+epsilon_{i, n}|alpha_i|^n$
e quindi (da adesso in poi $i$ viaggia sempre da $1$ a $2g$), l'ipotesi diventa
$ |(sum_i |alpha_i|^n+sum_i epsilon_{i,n}|alpha_i|^n)| le 2g(sqrt(q))^n$;
ora usando la disuguaglianza $|a|-|b| le |a+b|$ ricaviamo
$sum_i |alpha_i|^n - |(\sum_iepsilon_{i, n} |alpha_i|^n)| \le 2g (sqrt(q))^n$. (1)
Osserviamo ora che per ogni $n$ abbastanza grande da rendere $|epsilon_{i,n}|<1/2$ per ogni $i$, abbiamo la stima
$|(sum_i epsilon_{i, n}|alpha_i|^n)|\le (sum_i |epsilon_{i, n}| |alpha_i^n|) \le 1/2 \sum_{i}|alpha_i|^n$,
che inserita nella (1) fornisce
$1/2sum_i |alpha_i|^n \le 2g(sqrt(q))^n$,
da cui la contraddizione perché a sinistra avresti una successione che diverge con un ordine superiore rispetto alla successione a destra.
Vedi un po' se ti convince. Se non ci sono errori, comunque, questa è evidentemente la parte soft dell'esercizio. Adesso si tratta di mostrare che una tale successione esiste e su questo non mi è ancora venuto in mente niente.
[edit]apportata una correzione: nella versione precedente c'era, implicito, il passaggio sbagliatissimo
$sum_i (epsilon_{i,n}alpha_i^n)=(sum_i epsilon_{i, n})(sum_{i}alpha_i^n)$.
Scusa, Claudia.
Ah, ecco, qualcosa m'è venuto in mente. Il problema di trovare una estratta come richiesta dall'esercizio si può ricondurre a questo.
Problema. Sia $z=re^{i theta}$ un numero complesso non nullo. Posto $beta_n=(z^n)/(|z|^n)=e^{i n theta}$, esiste una successione $(n_k)_{k \in NN}$ positiva, infinita, strettamente crescente tale che $beta_{n_k} \to 1$?
Secondo me la risposta è si. Cominciamo con l'escludere il caso facile di $theta$ multiplo razionale di $pi$: infatti se $theta=p/q pi$ allora è sufficiente definire $n_k=2qk$ per ottenere una successione identicamente uguale ad $1$.
Supponiamo allora che $theta$ e $pi$ siano incommensurabili. In queste ipotesi abbiamo a disposizione un lemma, per la cui dimostrazione rimando a questo post di Martino: l'insieme ${p theta + q pi\ |\ p, q \in ZZ}$ è denso in $RR$. In particolare esistono due successioni $(p_k)_{k \in NN}, (q_k)_{k \in NN}$ in $ZZ$ tali che $p_k theta + q_k pi \to 0$, e quindi anche $2p_k theta + 2q_k pi \to 0$. Tali successioni possono essere scelte in modo tale che $|p_0|<|p_1|.
Ora costruiamo due successioni $n_k, m_k$ tali che
$n_k>=0,\ n_k=+- 2p_k theta, m_k=+-2q_kpi$,
dove il segno $+$ o $-$ è scelto in modo tale che $n_k theta + m_k pi=+-(2p_k theta + 2q_k pi)$. In formule, $n_k=2p_k"sign"(p_k), m_k=2q_k "sign"(p_k)$: in particolare, $n_k$ è una successione infinita e strettamente crescente di interi positivi.
Chiaramente anche $n_k theta + m_k pi\to 0$ e inoltre, essendo $m_k$ un numero intero pari,
$e^{i n_k theta}=e^{i n_k theta + m_k pi i} \to 1$. /////
Che ne dici? Chiaramente se i numeri complessi sono due, diciamo $z_1, z_2$, si può estrarre una sottosuccessione di indici $n_k$ da $(frac{z_1}{|z_1|})^n$ e poi estrarre ancora una sottosuccessione da $(frac{z_2}{|z_2|})^{n_k}$. Si costruisce in tal modo una estratta di $(frac{z_1}{|z_1|}, frac{z_2}{|z_2|})^n$ convergente a $(1, 1)$. E via iterando.
Problema. Sia $z=re^{i theta}$ un numero complesso non nullo. Posto $beta_n=(z^n)/(|z|^n)=e^{i n theta}$, esiste una successione $(n_k)_{k \in NN}$ positiva, infinita, strettamente crescente tale che $beta_{n_k} \to 1$?
Secondo me la risposta è si. Cominciamo con l'escludere il caso facile di $theta$ multiplo razionale di $pi$: infatti se $theta=p/q pi$ allora è sufficiente definire $n_k=2qk$ per ottenere una successione identicamente uguale ad $1$.
Supponiamo allora che $theta$ e $pi$ siano incommensurabili. In queste ipotesi abbiamo a disposizione un lemma, per la cui dimostrazione rimando a questo post di Martino: l'insieme ${p theta + q pi\ |\ p, q \in ZZ}$ è denso in $RR$. In particolare esistono due successioni $(p_k)_{k \in NN}, (q_k)_{k \in NN}$ in $ZZ$ tali che $p_k theta + q_k pi \to 0$, e quindi anche $2p_k theta + 2q_k pi \to 0$. Tali successioni possono essere scelte in modo tale che $|p_0|<|p_1|
Ora costruiamo due successioni $n_k, m_k$ tali che
$n_k>=0,\ n_k=+- 2p_k theta, m_k=+-2q_kpi$,
dove il segno $+$ o $-$ è scelto in modo tale che $n_k theta + m_k pi=+-(2p_k theta + 2q_k pi)$. In formule, $n_k=2p_k"sign"(p_k), m_k=2q_k "sign"(p_k)$: in particolare, $n_k$ è una successione infinita e strettamente crescente di interi positivi.
Chiaramente anche $n_k theta + m_k pi\to 0$ e inoltre, essendo $m_k$ un numero intero pari,
$e^{i n_k theta}=e^{i n_k theta + m_k pi i} \to 1$. /////
Che ne dici? Chiaramente se i numeri complessi sono due, diciamo $z_1, z_2$, si può estrarre una sottosuccessione di indici $n_k$ da $(frac{z_1}{|z_1|})^n$ e poi estrarre ancora una sottosuccessione da $(frac{z_2}{|z_2|})^{n_k}$. Si costruisce in tal modo una estratta di $(frac{z_1}{|z_1|}, frac{z_2}{|z_2|})^n$ convergente a $(1, 1)$. E via iterando.
Ciao Dissonance.
Grazie mille, sembra tutto molto convincente (e bello, anche). Quel lemma proprio non ce lo avevo da nessuna parte.
Per la parte della contraddizione mi ero impappinata con le maggiorazioni, ma direi che ci siamo.
Domani mattina per prima cosa riscrivo tutto e controllo, e ti dico.
Ancora grazie mille, sei stato di grande aiuto.
Claudia
Grazie mille, sembra tutto molto convincente (e bello, anche). Quel lemma proprio non ce lo avevo da nessuna parte.
Per la parte della contraddizione mi ero impappinata con le maggiorazioni, ma direi che ci siamo.
Domani mattina per prima cosa riscrivo tutto e controllo, e ti dico.
Ancora grazie mille, sei stato di grande aiuto.
Claudia
Sono molto contento che ti piaccia, ma comunque controlla tutto per benino. E sono io che ringrazio te per avere proposto questo esercizio, è interessante.
La formula per $n_k$ ed $m_k$ può essere data così, direi:
$n_k = sgn(p_k)p_k$
$m_k = sgn(p_k)q_k$
$n_k = sgn(p_k)p_k$
$m_k = sgn(p_k)q_k$
Certo, grazie. Ho modificato un po' il post precedente: le aggiunte sono in rosso.
Ciao Dissonance,
ok la parte sulla successione (anche se devo dire che non saprei dimostrare che $p_k$ si può scegliere in modo che sia crescente in modulo e divergente), ma ho qualche subbio sul primo post, quello per dim. la contraddizione.
Il dubbio viene dal fatto che non capisco bene che conseguenze abbia l'ultima disuguaglianza $ 1/2sum_(i = 1,..,2g)|\alpha_i|^n \leq 2g sqrt(q)^n $, perchè gli indici per cui vale $|\alpha_i|>sqrt (q)$ non sono tutti, ma solo alcuni, e invece per avere la maggiorazione sulla somma dobbiamo prenderli tutti da $1$ a $2g$.
Cosa mi manca?
Thx
ok la parte sulla successione (anche se devo dire che non saprei dimostrare che $p_k$ si può scegliere in modo che sia crescente in modulo e divergente), ma ho qualche subbio sul primo post, quello per dim. la contraddizione.
Il dubbio viene dal fatto che non capisco bene che conseguenze abbia l'ultima disuguaglianza $ 1/2sum_(i = 1,..,2g)|\alpha_i|^n \leq 2g sqrt(q)^n $, perchè gli indici per cui vale $|\alpha_i|>sqrt (q)$ non sono tutti, ma solo alcuni, e invece per avere la maggiorazione sulla somma dobbiamo prenderli tutti da $1$ a $2g$.
Cosa mi manca?
Thx
Ma basta che ce ne sia uno che cresce troppo rapidamente per mandarti in tilt tutta la disuguaglianza, direi. Supponiamo che sia $|alpha_1| > sqrt(q)$. Allora
$1/2 |alpha_1|^n \le 1/2 \sum_{i=1}^(2g) |alpha_i|^n \le 2gsqrt(q)^n$
quindi $1/2 (frac{|alpha_1|}{sqrt(q)})^n \le 2g$ e questa è una contraddizione perché la successione a sinistra è infinita per $n\to \infty$.
No? In effetti questo significa che il fattore $2g$ davanti a $sqrt(q)^n$ non è importante, andrebbe bene ogni fattore strettamente positivo. E' questo che non ti convince? Anche a me puzzava, ti dico la verità. Me ne sono fatto una ragione convincendomi che è sufficiente assumere per ipotesi una stima asintotica: con il linguaggio degli O grande, possiamo sostituire l'ipotesi del problema con $|(sum_{i=1}^(2g) alpha_i^n)|=O(sqrt(q)^n)$ ottenendo sempre la stessa tesi.
E questo non mi pare troppo inverosimile a livello intuitivo. Stiamo dicendo che se c'è anche solo un addendo che cresce troppo, questo addendo si porta appresso tutta la somma nella sua crescita esagerata. Con un po' di fatica ma me ne sono convinto. Certo, se trovi un errore allora bisognerà rifare tutto daccapo.
Per il secondo punto io ragionerei per assurdo, ci penso un attimo però e ti faccio sapere.
$1/2 |alpha_1|^n \le 1/2 \sum_{i=1}^(2g) |alpha_i|^n \le 2gsqrt(q)^n$
quindi $1/2 (frac{|alpha_1|}{sqrt(q)})^n \le 2g$ e questa è una contraddizione perché la successione a sinistra è infinita per $n\to \infty$.
No? In effetti questo significa che il fattore $2g$ davanti a $sqrt(q)^n$ non è importante, andrebbe bene ogni fattore strettamente positivo. E' questo che non ti convince? Anche a me puzzava, ti dico la verità. Me ne sono fatto una ragione convincendomi che è sufficiente assumere per ipotesi una stima asintotica: con il linguaggio degli O grande, possiamo sostituire l'ipotesi del problema con $|(sum_{i=1}^(2g) alpha_i^n)|=O(sqrt(q)^n)$ ottenendo sempre la stessa tesi.
E questo non mi pare troppo inverosimile a livello intuitivo. Stiamo dicendo che se c'è anche solo un addendo che cresce troppo, questo addendo si porta appresso tutta la somma nella sua crescita esagerata. Con un po' di fatica ma me ne sono convinto. Certo, se trovi un errore allora bisognerà rifare tutto daccapo.
Per il secondo punto io ragionerei per assurdo, ci penso un attimo però e ti faccio sapere.
Ah si ecco come avevo fatto ieri sera. Non sono entrato nel dettaglio perché temevo di confondere le acque con delle technicalities, però effettivamente due parole andavano spese. Allora, abbiamo detto che ${ptheta + q pi |p, q \in ZZ}$ è denso in $RR$, quindi possiamo trovare una successione $p_n theta + q_n pi \to 0$. Affermiamo che tutte e due le successioni $p_n, q_n$ sono non limitate.
Infatti, supponiamo per assurdo che una delle due, diciamo $p_n$ sia limitata: ma allora è limitata pure l'altra, perché
$|q_n pi| \le |p_n theta + q_n pi |+|p_n theta| $
e la successione $|p_n theta + q_n pi|$, essendo infinitesima, è limitata. Questo porta ad una contraddizione perché allora l'insieme ${p_n theta + q_n pi\ |\ n\in NN}$ dovrebbe essere finito, e dovendosi avere $p_n theta + q_n pi \to 0$ l'unica è che $p_n theta=q_npi$ definitivamente. Questo contraddice l'incommensurabilità di $theta$ e $pi$.
A questo punto, visto che $p_n$ e $q_n$ non sono limitate, con un procedimento di selezione prendiamo estratte tali che $|p_{n_k}| \le |p_{n_{k+1}}| \to +\infty$. Per non appesantire le notazioni continuiamo a chiamare tali estratte $p_n, q_n$.
Da questo punto in poi la dimostrazione continua come in precedenza. Effettivamente bisognava specificarlo, hai ragione.
Infatti, supponiamo per assurdo che una delle due, diciamo $p_n$ sia limitata: ma allora è limitata pure l'altra, perché
$|q_n pi| \le |p_n theta + q_n pi |+|p_n theta| $
e la successione $|p_n theta + q_n pi|$, essendo infinitesima, è limitata. Questo porta ad una contraddizione perché allora l'insieme ${p_n theta + q_n pi\ |\ n\in NN}$ dovrebbe essere finito, e dovendosi avere $p_n theta + q_n pi \to 0$ l'unica è che $p_n theta=q_npi$ definitivamente. Questo contraddice l'incommensurabilità di $theta$ e $pi$.
A questo punto, visto che $p_n$ e $q_n$ non sono limitate, con un procedimento di selezione prendiamo estratte tali che $|p_{n_k}| \le |p_{n_{k+1}}| \to +\infty$. Per non appesantire le notazioni continuiamo a chiamare tali estratte $p_n, q_n$.
Da questo punto in poi la dimostrazione continua come in precedenza. Effettivamente bisognava specificarlo, hai ragione.
Ho trovato un errore nel primo post:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#497226
che ho corretto. Comunque la struttura della dimostrazione è la stessa e adesso mi pare corretta.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#497226
che ho corretto. Comunque la struttura della dimostrazione è la stessa e adesso mi pare corretta.
Tranqui, tranqui, avevo visto la svista. 
.
Comunque direi che l'esercizio fila bene, e (almeno per me) non era proprio semplicissimo.. poi l'analisi non è proprio la mia preferita, ecco.
Grazie mille ancora
.Comunque direi che l'esercizio fila bene, e (almeno per me) non era proprio semplicissimo.. poi l'analisi non è proprio la mia preferita, ecco.
Grazie mille ancora
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