Esercizio su o-piccolo
Salve,mi potreste aiutare con un esercizio sull'o-piccolo,devo identificare se questa affermazione sia VERA o FALSA:
$x o(x)=o (x^2)$ per $x rarr 0$.
Io so che $f(x)=o(g(x)) rArr f(x)/g(x) = 0$ per $x rarr 0$
Il punto è che non riesco a capire $o(x)$ cosa voglia dire.
Qualcuno sarebbe gentilmente da aiutarmi.
Grazie in anticipo e mi scuso per l'ignoranza
$x o(x)=o (x^2)$ per $x rarr 0$.
Io so che $f(x)=o(g(x)) rArr f(x)/g(x) = 0$ per $x rarr 0$
Il punto è che non riesco a capire $o(x)$ cosa voglia dire.
Qualcuno sarebbe gentilmente da aiutarmi.
Grazie in anticipo e mi scuso per l'ignoranza
Risposte
Cosa vorrà mai dire?
Cerchiamo di fare un pò di chiarezza.
Date due funzioni $ f $ e $ g $, si ha che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se esiste una funzione $ w $ tale che $ f(x)=w(x)g(x) $ e $ lim_(x->x_0)w(x)=0 $ .
Questa definizione è quasi equivalente a quella che hai riportato te.
A parole quindi si dice che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se siamo in grado di trovare una funzione $ w(x) $ tale per cui possiamo scrivere $ f(x) $ come $ g(x) $ per $ w(x) $ dove $ w(x) $ tende a zero per $ x $ tendente a $ x_0 $.
Vediamo un esempio:
$ x^3=o(x^2) $ per $ x->0 $
In questo caso ci chiediamo: "posso scrivere $ x^3 $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando x tende a zero?" Si, basta prendere $ w(x)=x $. Infatti si ha $ x^3=x*x^2 $ e banalmente $ x->0 $ quando $ x->0 $.
Nel tuo caso quindi devi vedere se riesci a scrivere la tua funzione $ f(x)=x* o(x) $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando $ x->0 $
Date due funzioni $ f $ e $ g $, si ha che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se esiste una funzione $ w $ tale che $ f(x)=w(x)g(x) $ e $ lim_(x->x_0)w(x)=0 $ .
Questa definizione è quasi equivalente a quella che hai riportato te.
A parole quindi si dice che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se siamo in grado di trovare una funzione $ w(x) $ tale per cui possiamo scrivere $ f(x) $ come $ g(x) $ per $ w(x) $ dove $ w(x) $ tende a zero per $ x $ tendente a $ x_0 $.
Vediamo un esempio:
$ x^3=o(x^2) $ per $ x->0 $
In questo caso ci chiediamo: "posso scrivere $ x^3 $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando x tende a zero?" Si, basta prendere $ w(x)=x $. Infatti si ha $ x^3=x*x^2 $ e banalmente $ x->0 $ quando $ x->0 $.
Nel tuo caso quindi devi vedere se riesci a scrivere la tua funzione $ f(x)=x* o(x) $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando $ x->0 $
"niccoset":
Cerchiamo di fare un pò di chiarezza.
Date due funzioni $ f $ e $ g $, si ha che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se esiste una funzione $ w $ tale che $ f(x)=w(x)g(x) $ e $ lim_(x->x_0)w(x)=0 $ .
Questa definizione è quasi equivalente a quella che hai riportato te.
A parole quindi si dice che $ f(x)=o(g(x)) $ per $ x->x_0 $ se siamo in grado di trovare una funzione $ w(x) $ tale per cui possiamo scrivere $ f(x) $ come $ g(x) $ per $ w(x) $ dove $ w(x) $ tende a zero per $ x $ tendente a $ x_0 $.
Vediamo un esempio:
$ x^3=o(x^2) $ per $ x->0 $
In questo caso ci chiediamo: "posso scrivere $ x^3 $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando x tende a zero?" Si, basta prendere $ w(x)=x $. Infatti si ha $ x^3=x*x^2 $ e banalmente $ x->0 $ quando $ x->0 $.
Nel tuo caso quindi devi vedere se riesci a scrivere la tua funzione $ f(x)=x* o(x) $ come $ x^2 $ per una qualche funzione che tende a zero quando $ x->0 $
Grazie niccoset della risposta,per esempio $2x^3=o(x)$ mi basta prendere $w(x) = 2x^2$.Giusto?
Scusami l'ignoranza ma non riesco a capire ancora come riesca a risolvere $x*o(x)=o(x^2)$
"jcyshadow":Si
Grazie niccoset della risposta,per esempio $2x^3=o(x)$ mi basta prendere $w(x) = 2x^2$.Giusto?
"jcyshadow":
Scusami l'ignoranza ma non riesco a capire ancora come riesca a risolvere $x*o(x)=o(x^2)$
$ x*o(x) $ per quanto già detto è $ x*x*w(x)=x^2*w(x) $ (che è la definizione di $ f(x)=o(x^2) $ )
"Vulplasir":
Cosa vorrà mai dire?
[ot]non ti hanno apprezzato
[/ot]Una piccola precisazione, per @niccoset
‘o-piccolo’ non è niente di strano, è una proprietà locale che condividono due funzioni.
Continuo dal cosa vorrà mai dire? di @Vulpasir (che mi ha steso)
Allora assumiamo che $f$ sia o-piccolo di $g$ in $x_0$
Ovviamente le due funzioni devono almeno ammettere limite in $x_0$(che prendiamo finito)
Abbiamo che valgono quelle due proprietà scritte sopra. Ovvero esistono una intorno bucato e una funzione definita in quell’insieme per cui valgono $f=gsigma$ e $sigma->0$
Dalla definizione di limite si sigma si ottiene che
$forallepsilon>0existsdelta>0:|sigma(x)|
$|f(x)|=|g(x)sigma(x)|,forallx inD$
$|f(x)|=|g(x)sigma(x)|=|g(x)||sigma(x)|<|g(x)|epsilon,forall x inB_o(x_0,delta)capD$
Quindi significa che $|f(x)|<|g(x)|epsilon$ definitivamente in un intorno bucato.
Da questo deduciamo facilmente che per $epsilon$ molto piccoli, prossimi allo $0$ si ha che $|f(x)|$ $<<<<$ $|g(x)|$
Ovvero che avvicinandoci a $x_0$ $f$ è molto minore di $g$.
In poche parole questo ‘o piccolo’ ti dice che se $f$ è o piccolo di $g$ allora $f$ si annulla molto più velocemente di $g$ in $x_0$ infatti per tutti gli $epsilon<1$ si ha $|f(x)|
Salta subito all’occhio che se $g$ è definitivamente non nulla intorno a $x_0$ allora è possibile dividere per $g$
ottenendo che;
$forall epsilon>0existsdelta>0:|f(x)/g(x)|
Ovvero $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$ che è la definizione più frequente che si utilizza.
Ovviamente abbiamo mostrato che se $f ino_(x_0)(g)$ con $g$ definitivamente non nulla, allora il loro rapporto a limite fa $0$. Viceversa, se il loro rapporto a limite fa $0$, sempre con $g$ definitivamente non nulla, allora si ha:
$f(x)=g(x)*f(x)/g(x)$ in un intorno bucato di $x_0$ e $f/g->0$
Quindi la funzione $sigma$ sarebbe proprio $f/g$
Quindi ricorda: se $f/g$ al limite fa $0$ in un punto significa che $f$ è molto minore di $g$ vicino a $x_0$
Per quanto riguarda il tuo esercizio, devi mostrare che $xo(x)=o(x^2)$
Dalla definizione cosa abbiamo? Che $o(x)=xsigma$
Quindi $xo(x)=x(xsigma)=x^2sigma$ in un opportuno intorno bucato di $0$ e con $sigma->0$
Ovvero $xo(x)$ coincide in un intorno con $x^2$ per qualcosa che tende a $0$. Non è forse la definizione di o piccolo?
Quindi $xo(x)=o(x^2)$
Oppure anche $xo(x)=x^2 (o(x))/x$ dove $(o(x))/x->0$
Con la definizione quasi equivalente(citazione di gobbino) devi mostrare che;
$lim_(x->0)(xo(x))/x^2=lim_(x->0)(o(x))/x=0$
E questo è vero, vista la definizione di o piccolo.
Oggi sono ispirato.
"anto_zoolander":
Una piccola precisazione, per @niccoset
"anto_zoolander":
Con la definizione quasi equivalente(citazione di gobbino) ..
"anto_zoolander":
[quote="Vulplasir"]Cosa vorrà mai dire?
[ot]non ti hanno apprezzato
[/ot]Una piccola precisazione, per @niccoset
‘o-piccolo’ non è niente di strano, è una proprietà locale che condividono due funzioni.
Continuo dal cosa vorrà mai dire? di @Vulpasir (che mi ha steso)
Allora assumiamo che $f$ sia o-piccolo di $g$ in $x_0$
Ovviamente le due funzioni devono almeno ammettere limite in $x_0$(che prendiamo finito)
Abbiamo che valgono quelle due proprietà scritte sopra. Ovvero esistono una intorno bucato e una funzione definita in quell’insieme per cui valgono $f=gsigma$ e $sigma->0$
Dalla definizione di limite si sigma si ottiene che
$forallepsilon>0existsdelta>0:|sigma(x)|
$|f(x)|=|g(x)sigma(x)|,forallx inD$
$|f(x)|=|g(x)sigma(x)|=|g(x)||sigma(x)|<|g(x)|epsilon,forall x inB_o(x_0,delta)capD$
Quindi significa che $|f(x)|<|g(x)|epsilon$ definitivamente in un intorno bucato.
Da questo deduciamo facilmente che per $epsilon$ molto piccoli, prossimi allo $0$ si ha che $|f(x)|$ $<<<<$ $|g(x)|$
Ovvero che avvicinandoci a $x_0$ $f$ è molto minore di $g$.
In poche parole questo ‘o piccolo’ ti dice che se $f$ è o piccolo di $g$ allora $f$ si annulla molto più velocemente di $g$ in $x_0$ infatti per tutti gli $epsilon<1$ si ha $|f(x)|
Salta subito all’occhio che se $g$ è definitivamente non nulla intorno a $x_0$ allora è possibile dividere per $g$
ottenendo che;
$forall epsilon>0existsdelta>0:|f(x)/g(x)|
Ovvero $lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0$ che è la definizione più frequente che si utilizza.
Ovviamente abbiamo mostrato che se $f ino_(x_0)(g)$ con $g$ definitivamente non nulla, allora il loro rapporto a limite fa $0$. Viceversa, se il loro rapporto a limite fa $0$, sempre con $g$ definitivamente non nulla, allora si ha:
$f(x)=g(x)*f(x)/g(x)$ in un intorno bucato di $x_0$ e $f/g->0$
Quindi la funzione $sigma$ sarebbe proprio $f/g$
Quindi ricorda: se $f/g$ al limite fa $0$ in un punto significa che $f$ è molto minore di $g$ vicino a $x_0$
Per quanto riguarda il tuo esercizio, devi mostrare che $xo(x)=o(x^2)$
Dalla definizione cosa abbiamo? Che $o(x)=xsigma$
Quindi $xo(x)=x(xsigma)=x^2sigma$ in un opportuno intorno bucato di $0$ e con $sigma->0$
Ovvero $xo(x)$ coincide in un intorno con $x^2$ per qualcosa che tende a $0$. Non è forse la definizione di o piccolo?
Quindi $xo(x)=o(x^2)$
Oppure anche $xo(x)=x^2 (o(x))/x$ dove $(o(x))/x->0$
Con la definizione quasi equivalente(citazione di gobbino) devi mostrare che;
$lim_(x->0)(xo(x))/x^2=lim_(x->0)(o(x))/x=0$
E questo è vero, vista la definizione di o piccolo.
Oggi sono ispirato.[/quote]
Caspiterina,non mi sono piaciuti da sempre le definizioni.Diciamo che la prima parte non ho capito molto per la mia ignoranza
.Comunque oggi il prof ci ha spiegato alcune proprietà dell'o-piccolo e una di queste era proprio che $xo(x)$ faccia proprio $o(x^2)$.Comunque,se io prendessi per esempio $o(x^2)+o(x^3)=o(x^3)$ posso dire che per asintoticità che $o(x^2)+o(x^3)~o(x^2)$ posso dimostrare che l'uguaglianza è vera?
Grazie mille del vostro aiuto.
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