Esercizio su numeri complessi
Buongiorno.
Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi.
Nel primo faccio la classica conversione per cui $sqrt(-1) = i$ e procedo poi con il calcolo arrivando a due soluzioni:
$ root(4)(2)e^(pi/8i)$ e $ root(4)(2)e^((9pi)/8i)$
Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.
Allora, procedo invece utilizzando più propriamente l'identità di Eulero ed ottengo quattro risultati, ovvero i primi due a cui si aggiungono
$ root(4)(2)e^((7pi)/8i)$ e $ root(4)(2)e^((-pi)/8i)$
Ora il dubbio è:
I principali solutori online mi danno come soluzione solo i primi due risultati, ovvero il primo approccio dove mi ricorduco a risolvere $sqrt(1+i)$
Cosa che mi sembra in qualche modo anche ragionevole riflettendo sul fatto che $i^2=-1$ porta a $i = sqrt(-1)$ e non $ +- sqrt(-1) $ così come $sqrt(4) = 2$ e non $+- 2$.
Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?
Dove sbaglio?
Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi.
Nel primo faccio la classica conversione per cui $sqrt(-1) = i$ e procedo poi con il calcolo arrivando a due soluzioni:
$ root(4)(2)e^(pi/8i)$ e $ root(4)(2)e^((9pi)/8i)$
Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.
Allora, procedo invece utilizzando più propriamente l'identità di Eulero ed ottengo quattro risultati, ovvero i primi due a cui si aggiungono
$ root(4)(2)e^((7pi)/8i)$ e $ root(4)(2)e^((-pi)/8i)$
Ora il dubbio è:
I principali solutori online mi danno come soluzione solo i primi due risultati, ovvero il primo approccio dove mi ricorduco a risolvere $sqrt(1+i)$
Cosa che mi sembra in qualche modo anche ragionevole riflettendo sul fatto che $i^2=-1$ porta a $i = sqrt(-1)$ e non $ +- sqrt(-1) $ così come $sqrt(4) = 2$ e non $+- 2$.
Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao lackyluk,
Per me sono corrette le 4 soluzioni, d'altronde $- 1 = e^{i \pi} = e^{- i pi} $
Questo perché la maggior parte dei solutori online considerano solo la radice principale (anche WolframAlpha fa così)
"lackyluk":
Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.
Per me sono corrette le 4 soluzioni, d'altronde $- 1 = e^{i \pi} = e^{- i pi} $
"lackyluk":
I principali solutori online mi danno come soluzione solo i primi due risultati
Questo perché la maggior parte dei solutori online considerano solo la radice principale (anche WolframAlpha fa così)
.
Cioè, in definitiva, è sostanzialmente corretto sia dare solo due soluzioni che darne quattro?
Grazie ad entrambi intanto.
Grazie ad entrambi intanto.
.
"sellacollesella":
Dipende dal contesto.
Che è una riposta affermativa alla mia domanda direi.
E in effetti sì, la cosa inizia ad assumere contorni più "complessi" di quanto inizialmente mi appariva.
Detto questo, il docente mi ha già dato come buono, o meglio non ha contestato, la versione dove procedo riconducendomi a $sqrt(1+i)$.
"lackyluk":
il docente mi ha già dato come buono, o meglio non ha contestato [...]
Ti consiglierei però di chiederglielo esplicitamente, non accontentandoti di una "mancata contestazione", soprattutto perché
"lackyluk":
Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.
Così, giusto per essere sicuri ed evitare poi un domani eventuali contestazioni in una prova scritta...
Onestamente anch'io avrei proceduto come ti ha già mostrato sellacollesella determinando le 4 soluzioni.
Nel primo faccio la classica conversione per cui $\sqrt {-1}=i$
Scusa la mia ingenuità, ma ho sempre creduto che le radici quadrate complesse del numero complesso $z=(-1,0) $ fossero due , evidentemente mi sbagliavo
Chiaramente la definizione corretta sarebbe $i^2= -1$
Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?
Dove sbaglio?
La prima radice magicamente hai deciso che abbia un solo risultato, mentre per quella più esterna hai deciso che ne abbia due. Hai tirato la monetina? . Il problema è solo psicologico, tu confondi il campo reale col campo complesso. Quando scrivi $z=a+ib$ immediatamente il tuo cervello codifica $z$ come numero complesso e allora applichi a pappardella la formula (corretta) per le radici complesse. Se invece scrivi $-1$ tu lo leggi come numero reale e allora vai a calcolare una radice reale . Quindi una sola soluzione. Ovviamente se usassimo i colori tutto sarebbe diverso. Se indicassimo $\color \mathbb C$ in rosso e $\color \mathbb R$ in verde allora capiresti che $\color {-1}=(\color {-1},\color 0)$
Tu vuoi calcolare$ \color {\sqrt {-1}} $ che non ha senso però addirittura intendi $\color {\sqrt {-1}} =\color i$
Invece io ti propongo $\color {\sqrt {-1}} =\color { \pm i}$
Per me sono corrette le 4 soluzioni,
Ma per qualcuno invece no? Nel senso la matematica è un 'opinione
Insomma, non è una faccenda così banale come spesso la si dipinge, ci sono molte sfumature!
Quali sfumature?
Ciao Brufus,
A quanto pare...
Preciso che non sono io ad avere dei dubbi (infatti nella mia prima risposta ho scritto immediatamente che le soluzioni sono 4), ma se è vero che il professore gliel'ha data per buona non posso escludere a priori che siano state poste altre condizioni per lo svolgimento dell'esercizio che non sono state riportate dall'OP e che pertanto io non conosco...
"Brufus":
Ma per qualcuno invece no?
A quanto pare...
Preciso che non sono io ad avere dei dubbi (infatti nella mia prima risposta ho scritto immediatamente che le soluzioni sono 4), ma se è vero che il professore gliel'ha data per buona non posso escludere a priori che siano state poste altre condizioni per lo svolgimento dell'esercizio che non sono state riportate dall'OP e che pertanto io non conosco...
@Brufus
Perché sei sempre così rigido?
Io volevo intervenire subito per dire quello che ho scritto appena sopra e, penso, che sarebbe stato tutto chiaro.
Quando parla di sfumature, usando un gergo poco matematico (e su questo siamo d'accordo ma che può anche starci, dipende dall'interlocutore che hai davanti), intende dire, a mio parere, che SE ci sono condizioni aggiuntive ALLORA le soluzioni possono anche essere solo due o comunque il problema diventa qualcosa di diverso dalla "normale" risoluzione di un'equazione.
IMHO
Perché sei sempre così rigido?
Io volevo intervenire subito per dire quello che ho scritto appena sopra e, penso, che sarebbe stato tutto chiaro.
Quando parla di sfumature, usando un gergo poco matematico (e su questo siamo d'accordo ma che può anche starci, dipende dall'interlocutore che hai davanti), intende dire, a mio parere, che SE ci sono condizioni aggiuntive ALLORA le soluzioni possono anche essere solo due o comunque il problema diventa qualcosa di diverso dalla "normale" risoluzione di un'equazione.
IMHO
Perché sei sempre così rigido?
Cosa intendi per rigido? Applicare teoremi e definizioni anziché parlare di licenze poetiche oppure sfumature è condizione necessaria e sufficiente per essere etichettati come rigidi?
Cosa intendi con sempre? Hai una lista comparativa di tutti i miei post nel,forum?
Io volevo intervenire subito per dire quello che ho scritto appena sopra
Volevi intervenire per scrivere quello che avevi già scritto? Faccio fatica a comprendere.....
Se ci sono condizioni aggiuntive, se è vero che niente è vero, se si stava meglio quando si stava peggio eccetera eccetera......è chiaro che ogni interpretazione è possibile.
"Brufus":
Faccio fatica a comprendere.....
Mi pare evidente ...
"Brufus":
Cosa intendi con sempre? Hai una lista comparativa di tutti i miei post nel,forum?
Sì.
Con "rigido" intendo che parli allo stesso modo con un bambino come al professore universitario, c'è differenza, anche il contesto conta.
Mi pare evidente ...
Sono queste frasi di pessimo gusto che mi generano tristezza. I moderatori di questo forum sono in prima linea per chiudere le mie discussioni e apostrofarmi per presunti toni poco consoni, e invece simili cadute di stile godono di approvazione.
Se scrivi in modo criptico non è colpa mia, facendo l'esegesi del tuo testo intendevi dire che avresti scritto subito come prima risposta che $i^2=-1$ ? Però non lo hai fatto e lo hai scritto dopo 2 giorni dopo aver letto il mio messaggio? Ho tradotto bene?
Sì.
Quindi hai letto tutti i miei messaggi nel forum dalla mia iscrizione?E' abbastanza inquietante
Esempio di risposta che doveva esser data fin dall'inizio, per evitare questioni inutili:
"lackyluk":
Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi.
Il problema, com'è posto, non ha alcun senso, perché non ne ha:
[*:14o6jrtl] il simbolo \(\sqrt{-1}\), né in campo reale (in generale) né in campo complesso (a meno di non mettersi d'accordo sul suo significato)
[/*:m:14o6jrtl]
[*:14o6jrtl] il simbolo \( \sqrt{\quad } \) più esterno in campo complesso (a meno di non mettersi d'accordo sul suo significato).[/*:m:14o6jrtl][/list:u:14o6jrtl]
Quindi dovresti chiarire/chiarirti cosa vuoi calcolare e perché.
"Brufus":Ma come posso ignorare le altre due soluzioni?
Dove sbaglio?
La prima radice magicamente hai deciso che abbia un solo risultato, mentre per quella più esterna hai deciso che ne abbia due. Hai tirato la monetina? . Il problema è solo psicologico, tu confondi il campo reale col campo complesso. Quando scrivi $z=a+ib$ immediatamente il tuo cervello codifica $z$ come numero complesso e allora applichi a pappardella la formula (corretta) per le radici complesse. Se invece scrivi $-1$ tu lo leggi come numero reale e allora vai a calcolare una radice reale . Quindi una sola soluzione. Ovviamente se usassimo i colori tutto sarebbe diverso. Se indicassimo $\color \mathbb C$ in rosso e $\color \mathbb R$ in verde allora capiresti che $\color {-1}=(\color {-1},\color 0)$
Tu vuoi calcolare$ \color {\sqrt {-1}} $ che non ha senso però addirittura intendi $\color {\sqrt {-1}} =\color i$
Invece io ti propongo $\color {\sqrt {-1}} =\color { \pm i}$
Per me sono corrette le 4 soluzioni,
Ma per qualcuno invece no? Nel senso la matematica è un 'opinione
Insomma, non è una faccenda così banale come spesso la si dipinge, ci sono molte sfumature!
Quali sfumature?
Intanto ti ho segnalato Brufus. C'è molta roba oltre la matematica, che devi approfondire meglio.
Per gli altri, grazie a chi ha tentato di aiutarmi a chiarire le idee su un argomento di cui avevo conoscenza da circa una settimana al momento della pubblicazione del post, che può considerarsi chiuso, almeno per quanto mi riguarda.
Ps. non posso sorvolare sul fatto che nell'ingaggiare Brufus anche gli alti utenti si siano lasciati andare a considerazioni, vaghissime ma allo stesso tempo chiare, su di me, che potevano essere evitate. Ma questo forum è stato più spesso utile che fonte di dispiacere quindi voglio tentare di conservare la possibilità di poterne usufruire ulteriormente.
"lackyluk":
post, che può considerarsi chiuso, almeno per quanto mi riguarda.
Detto fatto
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