Esercizio su misurabilità di una funzione

[thedarkhero]

Si vuole stabilire se $\int_(RR^2)e^(-x^2-y^2)dxdy\inL^1(RR^2)$.
Siccome $f(x,y)=e^(-x^2-y^2)$ è una funzione positiva e $e^(-x^2),e^(-y^2)\inL^1(RR)$, per i teoremi di Fubini-Tonelli si ha che $\int_(RR^2)e^(-x^2-y^2)dxdy=\int_RRe^(-x^2)\int_RRe^(-y^2)dydx=\int_RRe^(-x^2)dx\int_RRe^(-y^2)dy<+oo$.
Il mio dubbio riguarda il modo di mostrare che ad esempio $e^(-x^2)\inL^1(RR)$...si può mostrare per confronto con qualche altra funzione di $L^1(RR)$?

[gugo82]

Innanzitutto, non ha alcun senso di parlare di integrali misurabili, dato che la misurabilità è una proprietà relativa alle funzioni. Quindi una correzione del titolo è dovuta.

Poi, che la funzione gaussiana \(e^{-x^2}\) sia sommabile su tutto \(\mathbb{R}\) è un esercizio alquanto standard di Analisi I.

[thedarkhero]

Beh visto che la funzione è pari mi limito a studiarne il comportamento in un intorno di $+oo$.
Osservo che la funzione $f(x)=e^(-x^2)$ è strettamente positiva in tutto $RR$.
Si ha che in un intorno di $+oo$, $f(x)=e^(-x^2)=1/e^(x^2)<=1/x^2$ e so che $\int_1^(+oo)1/x^2$ converge, dunque $f(x)\inL^1(RR)$...può andare?

[gugo82]

Certo.

Però a tutto il ragionamento sulla sommabilità premetterei la seguente considerazione: "la funzione \(e^{-x^2}\) è un'applicazione misurabile di \(\mathbb{R}\) in sé, poiché essa è continua".

[thedarkhero]

Tutto chiaro Grazie!