Esercizio su matrice esponenziale
Salve a tutti!
Stavo provando a svolgere il seguente esercizio: " Data la matrice $A= ( ( -1 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $ , calcolare $ e^(t*A)$ ."
Sul libro c'è lo svolgimento, ma non mi torna una cosa.
Lo svolgimento è il seguente:
$e^(At) = e^((B+C))t = e^(Bt) * e^(Ct)$ quindi $ ( ( -1 , 0 ),( 1 , 2 ) ) = ( ( -1 , 0 ),( 0, 2 ) ) + ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )$.
$e^(Bt) = e^( t( ( -1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) )= ( ( e^(-t) , 0 ),( 0 , e^(2t) ) )$
$ e^(At )= ( ( e^(-t ) , 0 ),(0, e^(2t) ) ) ( ( 1 , 0 ),( t, 1) ) = ( (e^-t , 0 ),( te^(2t) , e^(2t) ) )$.
Non riesco a capire, da dove salta fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 ),( t, 1) )$. Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille:)
Stavo provando a svolgere il seguente esercizio: " Data la matrice $A= ( ( -1 , 0 ),( 1 , 2 ) ) $ , calcolare $ e^(t*A)$ ."
Sul libro c'è lo svolgimento, ma non mi torna una cosa.
Lo svolgimento è il seguente:
$e^(At) = e^((B+C))t = e^(Bt) * e^(Ct)$ quindi $ ( ( -1 , 0 ),( 1 , 2 ) ) = ( ( -1 , 0 ),( 0, 2 ) ) + ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) )$.
$e^(Bt) = e^( t( ( -1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) )= ( ( e^(-t) , 0 ),( 0 , e^(2t) ) )$
$ e^(At )= ( ( e^(-t ) , 0 ),(0, e^(2t) ) ) ( ( 1 , 0 ),( t, 1) ) = ( (e^-t , 0 ),( te^(2t) , e^(2t) ) )$.
Non riesco a capire, da dove salta fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 ),( t, 1) )$. Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille:)
Risposte
"Lory_91":
Non riesco a capire, da dove salta fuori la matrice $ ( ( 1 , 0 ),( t, 1) )$. Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille:)
La matrice C è nilpotente, dunque ...
Per definizione
$$e^{Mt}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} M^n t^n$$
Dal momento che $C^n=0$ (la matrice nulla) per $n>1$ abbiamo
$$e^{Ct}=I+Ct$$
essendo $C^0=I$ la matrice identica.
$$e^{Mt}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} M^n t^n$$
Dal momento che $C^n=0$ (la matrice nulla) per $n>1$ abbiamo
$$e^{Ct}=I+Ct$$
essendo $C^0=I$ la matrice identica.
Grazie per le risposte:)
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