Esercizio su massimi e minimi relativi
1) classificare i punti critici della seguente funzione
$f(x,y)=x^2+2xy+4log(y+1)$
calcolo derivate parziali $f_x=2x+2y=0$ $f_y=2x+4/(y+1)=0$
per cui
${(x=-y),(-2y+4/(y+1)=0):}$
e risolvendo mi vengono due punti $A(2,-2)$ $B(-1,1)$
e calcolandolo nell'Hessiano mi risulta che sono due punti sella
primo dubbio: la risoluzione dell'esercizio mi da solo il punto $B$ come mai?
2) scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di $f$ nel punto $(1,0,1)$
applicando la formula avendo già il gradiente che calcolato in $(1,0)$
mi risulta $z=2x+6y-1$
3)scrivere l'equazione della retta tangente alla curva $f(x,y)=0$ nel punto $(0,0)$
per il punto 3 sto proprio in alto mare qualche suggerimento?
$f(x,y)=x^2+2xy+4log(y+1)$
calcolo derivate parziali $f_x=2x+2y=0$ $f_y=2x+4/(y+1)=0$
per cui
${(x=-y),(-2y+4/(y+1)=0):}$
e risolvendo mi vengono due punti $A(2,-2)$ $B(-1,1)$
e calcolandolo nell'Hessiano mi risulta che sono due punti sella
primo dubbio: la risoluzione dell'esercizio mi da solo il punto $B$ come mai?
2) scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di $f$ nel punto $(1,0,1)$
applicando la formula avendo già il gradiente che calcolato in $(1,0)$
mi risulta $z=2x+6y-1$
3)scrivere l'equazione della retta tangente alla curva $f(x,y)=0$ nel punto $(0,0)$
per il punto 3 sto proprio in alto mare qualche suggerimento?
Risposte
non ho provato a fare i conti per 1),2). Puoi verificare benissimo da solo
3) è un'applicazione del teorema di Dini ( o della funzione implicita)
3) è un'applicazione del teorema di Dini ( o della funzione implicita)
grazie per la risposta ma per numero 1) veramente non capisco perchè mi esclude il punto (2,-2)
prova a calcolare la funzione in $A$ e vedi cosa succede
inoltre per il punto 3 una volta che ho verificato che la derivata parziale rispetto a y nel punto sia diversa da zero come faccio ad esplicitarmi l'equazione della retta tangente?
l'equazione della retta tangente passante per un punto e **dato il coefficiente angolare** dovresti saperla visto che stai studiando analisi 2.
Hai verificato correttamente che la derivata parziale rispetto a $y$ è diversa da zero in quel punto. Pertanto resta definita un'unica funzione $y=y(x)$ tale che $f(x,y(x))=0$ in un intorno di $(0,0)$.
Ma, derivando ambo i membri rispetto a $x$ usando la regola della catena, si ha
$f_x(x,y)+f_y(x,y) y'(x)=0$
da cui $y'(0)=-\frac{f_x(0,0)}{f_y(0,0)}$, da cui $y'(0)=0$, e dunque l'equazione delle retta passante per $(0,0)$ con coefficiente angolare $0$ altro non è che $y=0$.
Hai verificato correttamente che la derivata parziale rispetto a $y$ è diversa da zero in quel punto. Pertanto resta definita un'unica funzione $y=y(x)$ tale che $f(x,y(x))=0$ in un intorno di $(0,0)$.
Ma, derivando ambo i membri rispetto a $x$ usando la regola della catena, si ha
$f_x(x,y)+f_y(x,y) y'(x)=0$
da cui $y'(0)=-\frac{f_x(0,0)}{f_y(0,0)}$, da cui $y'(0)=0$, e dunque l'equazione delle retta passante per $(0,0)$ con coefficiente angolare $0$ altro non è che $y=0$.
Comunque, mi pare tu risponda tanto velocemente, quasi senza pensarci. Tra l'altro non hai nemmeno specificato se hai capito come mai il punto $A$ viene scartato. Questo forum non è una chat, e a pensarci un po' di più ci guadagna soprattutto la tua formazione.
ho capito perfettamente il numero 3...e credo di aver capito pure perchè escludiamo il punto perchè viene argomento del logaritmo negativo...
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