Esercizio su massima variazione

[maryenn1]

Potreste aiutarmi con questo esercizio?
Determinare la direzione ed il valore di massima variazione della funzione f nel punto di
coordinate (1,−1).
$f(x, y) = xy − 3x^2y − 3xy^2$

[Emar1]

Trovare la direzione di massima variazione nel punto \(p\) equivale a trovare la derivata direzionale di modulo massimo. Dobbiamo trovare \(\mathbf{v}\) tale che:
\[|D_\mathbf{v}f(p) | \ge |D_\mathbf{w}f(p) | \quad \forall \mathbf{w} \in \mathbb{R}^2\]

La funzione è differenziabile con continuità (\(C^1\)) quindi possiamo scrivere:
\[D_\mathbf{v}f = \nabla f\cdot \mathbf{v}\]
Da cui segue:
\[|D_\mathbf{v}f(p) | = \|\nabla f(p)\|\| \mathbf{v}\|\cos{\theta} = \|\nabla f(p)\| \cos{\theta} \]
dove \(\theta\) è l'angolo formato dal versore \(\mathbf{v}\) ed il gradiente e \(\|\mathbf{v}\| = 1\).

Al variare di \(\theta\), qual'è il massimo di \(\|\nabla f(p)\| \cos{\theta}\)?

[maryenn1]

In pratica,dovrei calcolare il gradiente giusto? Perchè il massimo valore assunto dal coseno è 1,quindi il massimo dipende proprio dal gradiente!
E poi sostituire le coordinate del punto che mi è stato dato all'interno delle componenti del gradiente,cioè nelle derivate parziali ?

[Emar1]

"maryenn"::) In pratica,dovrei calcolare il gradiente giusto? Perchè il massimo valore assunto dal coseno è 1,quindi il massimo dipende proprio dal gradiente!
E poi sostituire le coordinate del punto che mi è stato dato all'interno delle componenti del gradiente,cioè nelle derivate parziali ?

Sì, la direzione del gradiente è la direzione di massima crescita, che ottieni quindi ponendo:
\[\mathbf{v} = \frac{\nabla f(p)}{\|\nabla f(p)\|}\]
Invece di dirtelo subito ho preferito cercare di indirizzarti sula buona strada

Sì certo, devi calcolare il gradiente, e quindi le derivate parziali, in quel punto che io ho indicato con \(p\).

[maryenn1]

Grazie mille! Ma quindi alla fine,devo anche normalizzarlo?

[Emar1]

Non è strettamente necessario, ma solitamente con direzione si intende il versore. Io, per non saper ne leggere ne scrivere, lo normalizzerei