Esercizio su lunghezza e baricentro di una curva

[marthy_92]

Salve a tutti, ho dei problemi con un esericizo. Il testo è questo

Si calcoli il baricentro di un filo omogeneo a forma di cicloide di equazione

$ r(t) = a(t-sint)i + a (1-cost) j $ per t [ [0,2 \( \Pi \) ], a reale positivo

In sostanza la curva ha equazioni parametriche

\( \begin{cases} x(t)=a(t-sint) \\ y(t)=a(1-cost) \end{cases} \)

Quindi ho calcolato la lunghezza della curva usando la formula

\( \int_{0}^{2\pi} \sqrt{[x'(t)]^2+ [y'(t)]^2}\,dt \)

e se non sbaglio il risultato è 8a perchè in effetti anche sul libro viene così.

ora per le coordinate del baricentro ( Xb, Yb) , viste le formule , ho applicato queste

\( Xb = 1/8a * \int_{\gamma }^{} x\, ds \)

\( Yb = 1/8a * \int_{\gamma }^{} y\, ds \)

ove gli ultimisono integrali curvilinei.

Per esempio calcolando l'ordinata ottengo

\( Yb = 1/8a * \int_{\gamma }^{} y\, ds \) = \( 1/8a * \int_{0}^{2\pi} y(t)*y'(t)\, dt = 1/8a * \int_{0}^{2\pi} a(1-cost)(asint)\, dt \)

Ma a me viene zero, mentre sul libro viene $4a/3$
Dove sbaglio ?

[Sk_Anonymous]

$ds=sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=a sqrt{(1-cost)^2+(sint)^2}dt=a sqrt{2-2cost}dt=2asin(t/2)dt$
$Y_b=1/4 int_0^{2 pi}a(1-cost)sin(t/2)dt= 1/2 a int_0^{2 pi}sin^3 t/2 dt$
Calcola l'ultimo integrale e vedrai che ti esce...

[marthy_92]

ho capito dove sbagliavo grazie ciromario