Esercizio su limiti riconducibili ai notevoli

[andreaandreani2009]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come risolvere questo limite riconducendolo a limiti notevoli? Grazie.
\( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log (\sin(x))}{\log (x)} \)
I limiti notevoli da usare credo che siano:
\( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\)
\( \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+x)}{x}=1\)

[gugo82]

Più che altro, userei i limiti notevoli nella loro versione “tayloreggiante”, i.e. $sin x = x + text(o)(x)$, per scrivere $log sin x = log(x + text(o) (x)) = log x + log(1 + (text(o)(x))/x)$ e trarre qualche conclusione sul limite.

[pilloeffe]

Ciao Andrea2000,

Innanzitutto osserverei che deve intendersi che il limite proposto sia il seguente:

$\lim_{x \to 0^+} log(sin (x))/log(x) $

Esso si risolve molto facilmente con gli sviluppi asintotici o con la regola di de l'Hôpital e vale $1$. Tuttavia, se proprio insisti a volerlo risolvere coi soli limiti notevoli, userei il trucchetto seguente:

$\lim_{x \to 0^+} log(sin(x))/log(x) = \lim_{x \to 0^+} log(x \cdot sin(x)/x)/log(x) = \lim_{x \to 0^+} (log(x) + log(sin(x)/x))/log(x) = $
$ = \lim_{x \to 0^+} [1 + log(sin(x)/x)/log(x)] = 1 + 0 = 1 $