Esercizio su limite in coordinate polari
Buongiorno, in un esercizio di analisi 2 sulla continuità di funzioni in $\mathbb{R}^2$ devo verificare se la seguente uguaglianza è vera:
$$\lim_{\rho\to 0}\,\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\tan^2\theta\arctan\rho^2\right|=0$$ Per prima cosa ho estratto $\arctan \rho^2$ da $\text{sup}$ poichè non dipende da $\theta$.
$$=\left(\lim_{\rho\to 0}|\arctan\rho^2|\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\tan^2\theta\right|\right)$$ Poi ho rimosso i valori assoluti perché $\arctan x > 0$ per $x > 0$, mentre per $\tan^2$ osservo che $x^2 \geq 0 \forall x$.
$$=\left(\lim_{\rho\to 0}\arctan\rho^2\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\tan^2\theta\right)$$ A questo punto non so come procedere: la prima parentesi tende a $0$ per $\rho\to 0$, la seconda invece tende a $+\infty$ per $\theta\to\pi/2+k\pi$. Dal momento che non c'è correlazione fra $\theta$ e $\rho$ posso affermare che il limite non esiste? Oppure è possibile maggiorare l'espressione in modo da ricondurmi a un espressione tendente a $0$ in una sola variabile?
Vi ringrazio per l'aiuto.
$$\lim_{\rho\to 0}\,\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\tan^2\theta\arctan\rho^2\right|=0$$ Per prima cosa ho estratto $\arctan \rho^2$ da $\text{sup}$ poichè non dipende da $\theta$.
$$=\left(\lim_{\rho\to 0}|\arctan\rho^2|\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\tan^2\theta\right|\right)$$ Poi ho rimosso i valori assoluti perché $\arctan x > 0$ per $x > 0$, mentre per $\tan^2$ osservo che $x^2 \geq 0 \forall x$.
$$=\left(\lim_{\rho\to 0}\arctan\rho^2\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\tan^2\theta\right)$$ A questo punto non so come procedere: la prima parentesi tende a $0$ per $\rho\to 0$, la seconda invece tende a $+\infty$ per $\theta\to\pi/2+k\pi$. Dal momento che non c'è correlazione fra $\theta$ e $\rho$ posso affermare che il limite non esiste? Oppure è possibile maggiorare l'espressione in modo da ricondurmi a un espressione tendente a $0$ in una sola variabile?
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Se la funzione iniziale era la seguente:
$f(x,y)=y^2/x^2arctg(x^2+y^2)$
non è necessario, per studiarne la continuità nell'origine, introdurre le coordinate polari. Infatti:
$AA y_0 ne 0 : lim_((x,y)->(0,y_0))y^2/x^2arctg(x^2+y^2)=lim_((x,y)->(0,y_0))y_0^2/x^2arctg(x^2+y_0^2)=+oo$
In definitiva, non esiste alcun intorno dell'origine in cui la funzione è limitata.
$f(x,y)=y^2/x^2arctg(x^2+y^2)$
non è necessario, per studiarne la continuità nell'origine, introdurre le coordinate polari. Infatti:
$AA y_0 ne 0 : lim_((x,y)->(0,y_0))y^2/x^2arctg(x^2+y^2)=lim_((x,y)->(0,y_0))y_0^2/x^2arctg(x^2+y_0^2)=+oo$
In definitiva, non esiste alcun intorno dell'origine in cui la funzione è limitata.
Mi sono appena reso conto di aver sbagliato i calcoli nella trasformazione da coord. cartesiane a polari: la funzione originale aveva $y$ e non $y^2$ al numeratore. Riprovo ad eseguire i calcoli e in caso scriverò ancora. Grazie mille Sergeant Elias!
Ok. Ad ogni modo, anche se la funzione iniziale era la seguente:
$f(x,y)=y/x^2arctg(x^2+y^2)$
valgono le medesime considerazioni del mio messaggio precedente.
$f(x,y)=y/x^2arctg(x^2+y^2)$
valgono le medesime considerazioni del mio messaggio precedente.
Rieccomi. La funzione originale è definita $x^{-2}y\arctan(x^2+y^2)$ per $x \ne 0$, mentre è $0$ per $x=0$. Volendo valutarne la continuità in $(0,0)$, i limiti valutati per $(0,0)$, usando gli assi come restrizioni, valgono $0$. Da qui la necessità di valutare il limite in coordinate polari all'interno del valore assoluto. In formula: $$\lim_{\rho\to 0}\,\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}|f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)-0|=0?$$
Riporto per sicurezza la funzione in coordinate polari: $$f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\frac{\tan\theta\arctan\rho^2}{\rho\cos\theta}$$
Dal limite iniziale arrivo a: $$\left(\lim_{\rho\to 0}\frac{\arctan\rho^2}{\rho}\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\frac{\tan\theta}{\cos\theta}\right|\right)$$La parentesi di destra tende a zero, quella di sinistra a $+\infty$. Scusatemi la confusione. In questo caso che faccio? Grazie mille per la disponibilità.
Riporto per sicurezza la funzione in coordinate polari: $$f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\frac{\tan\theta\arctan\rho^2}{\rho\cos\theta}$$
Dal limite iniziale arrivo a: $$\left(\lim_{\rho\to 0}\frac{\arctan\rho^2}{\rho}\right)\left(\sup_{0\leq \theta\leq 2\pi}\left|\frac{\tan\theta}{\cos\theta}\right|\right)$$La parentesi di destra tende a zero, quella di sinistra a $+\infty$. Scusatemi la confusione. In questo caso che faccio? Grazie mille per la disponibilità.
Non è certamente definendo $[f(0,y)=0]$ che impedisci alla funzione di essere illimitata in un qualsiasi intorno dell'origine. Insomma, continuano a valere le medesime considerazioni del mio primo messaggio. Ad ogni modo, anche se ti vuoi complicare la vita passando a coordinate polari:
Non si comprende a che cosa debba tendere $\theta$ affinché l'affermazione di cui sopra sia vera. Inoltre, ammesso che esista un valore, presumo $[\theta=0]$, non si comprende per quale motivo $\theta$ debba tendere proprio a quel valore.
"gscatto":
La parentesi di destra tende a zero ...
Non si comprende a che cosa debba tendere $\theta$ affinché l'affermazione di cui sopra sia vera. Inoltre, ammesso che esista un valore, presumo $[\theta=0]$, non si comprende per quale motivo $\theta$ debba tendere proprio a quel valore.
Per quanto riguardano le parentesi, era il contrario, la sinistra tende a zero, la destra a "più infinito" per $\theta$ tendente a $\pi / 2$. Ad ogni modo, credo di avere capito: invece di valutare il limite usando l'asse $y$ come restrizione, avrei dovuto valutare il limite per un intorno di $(0, y_0)$. L'uso delle coordinate polari è chiaramente superfluo. Fra l'altro mi sono appena reso conto che mi avevi detto esattamente questo in pratica dopo il mio primo messaggio di rettifica. Grazie mille per la pazienza, super gentile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo