Esercizio su limite di una successione

[jcyshadow]

Salve,sono nuovo del forum.Qualcuno è cosi gentile da risolvermi questo limite?
$lim_{n \to \infty}((n+2)/(n+1))^((n)^2)$
A me viene il numero di nepero come risultato partendo dalla forma indeterminata 1^$\infty$

[otta96]

In base a quali calcoli ti viene $e$? Ce li fai vedere?

[jcyshadow]

si,certo.

$\lim_{n \to \infty}((n+2)/(n+1))^((n)^2)$=$\lim_{n \to \infty}((n+1+1)/(n+1))^((n)^2)$=$\lim_{n \to \infty}((n+1)/(n+1)+1/(n+1))^((n)^2)$=$\lim_{n \to \infty}(1+(1/(n+1)))^((n)^2)$= e

La soluzione dell'esercizio dice che deve venire +$\infty$

Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao jcyshadow,

Benvenuto sul forum!

In effetti il risultato è proprio $+\infty $, manca l'ultimo passaggio:

$ \lim_{n \to +\infty}(1+ 1/(n+1))^{n^2} = [\lim_{n \to +\infty}(1+ 1/(n+1))^{n + 1}]^{lim_{n \to +\infty} frac{n^2}{n + 1}} = + \infty $

[jcyshadow]

"pilloeffe":Ciao jcyshadow,

Benvenuto sul forum!

In effetti il risultato è proprio $+\infty $, manca l'ultimo passaggio:

$ \lim_{n \to +\infty}(1+ 1/(n+1))^{n^2} = [\lim_{n \to +\infty}(1+ 1/(n+1))^{n + 1}]^{lim_{n \to +\infty} frac{n^2}{n + 1}} = + \infty $

Grazie della risposta.Ma non riesco a capire il passaggio che hai fatto.
So che per definizione $ \lim_{n \to +\infty}(1+ 1/(n+1))^{n} = e$

Quindi praticalmente dovrebbe venire $e^n$ come risultato.

O mi sbaglio.

Grazie della pazienza

[pilloeffe]

"jcyshadow":Grazie della risposta.

Prego!
Per definizione si ha:

$ lim_{n \to +\infty}(1+ 1/n)^{n} = e $

Naturalmente, visto che $n \to +\infty $, poco importa se al posto di $n$ c'è $n + 1 $, per cui il limite che compare fra parentesi quadre tende a $e$, mentre l'esponente tende a $+\infty $ e quindi si ottiene, passami la scrittura, $e^{+\infty} = +\infty $ che è proprio il risultato del limite.

[jcyshadow]

hahah giusto.Mi ero messo in testa che $e^(+\infty)$ fosse forma indeterminata passando per $1^(+\infty)$.Grazie di nuovo