Esercizio su limite di funzioni
Salve a tutti, domani ho la prova intercorso di Analisi I e riesco a fare correttamente la maggior parte degli esercizi... tuttavia ce n'è che proprio non mi viene:
$lim_(x->0) ((5^(1+tan(x^2))-5)(1+sin(x^5)))/(1-cos(x)))$
Devo risolverlo però utilizzando solo i limiti notevoli (quindi niente regole varie)...
Il problema è quell'esponenziale, non riesco a ricondurlo a nessuno dei limiti notevoli noti.
Ce ne sarebbe un altro, però qui non so neanche da dove cominciare:
$lim_(x->0^+) (1+sin2x)^(1/sqrt(x))$
nell'esponenziale è "radice di x", non si legge molto bene...
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
$lim_(x->0) ((5^(1+tan(x^2))-5)(1+sin(x^5)))/(1-cos(x)))$
Devo risolverlo però utilizzando solo i limiti notevoli (quindi niente regole varie)...
Il problema è quell'esponenziale, non riesco a ricondurlo a nessuno dei limiti notevoli noti.
Ce ne sarebbe un altro, però qui non so neanche da dove cominciare:
$lim_(x->0^+) (1+sin2x)^(1/sqrt(x))$
nell'esponenziale è "radice di x", non si legge molto bene...
Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
e alora utilizziamoli sti limiti notevoli! qual è il problema? dove ti intoppi?
Nel primo riesco a ridurre il sen e cos dividendo per $x^5$ e $x^2$, ma mi rimane quell'esponenziale là... il limite notevole della tangente sarebbe $lim_(x->0) tan(x)/x = 1$, quindi mi serve un $x^2$ come denominatore dell'esponenziale, e non capisco come farcelo arrivare...
mentre il secondo non so proprio come muovermi
mentre il secondo non so proprio come muovermi
comincia da qui
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{\left(5^{1+\tan x^2}-5\right)\left(1+\sin x^5\right)}{1-\cos x }=\lim_{x\to 0}5\cdot\frac{\left(5^{\displaystyle\frac{ \tan x^2}{x^2}\cdot x^2}-1\right)\left(1+\displaystyle\frac{\sin x^5}{x^5}\cdot x^5\right)}{\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x^2 }
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x\to 0}\frac{\left(5^{1+\tan x^2}-5\right)\left(1+\sin x^5\right)}{1-\cos x }=\lim_{x\to 0}5\cdot\frac{\left(5^{\displaystyle\frac{ \tan x^2}{x^2}\cdot x^2}-1\right)\left(1+\displaystyle\frac{\sin x^5}{x^5}\cdot x^5\right)}{\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x^2 }
\end{align}
sono andato avanti:
$lim_(x->0) 5*[(5^(x^2)-1)(1+x^5)]/((1/2) x^2)$
usando il limite notevole
e qua mi blocco di nuovo!
vorrei usare il limite notevole:
$lim_(x->0) (e^(f(x))-1)/f(x) =1$
però la base è 5 e non $e$
oppure usare $lim_(x->0) (a^(x)-1)/x =1$
in questo caso però mi serve la $x$, e non $x^2$
$lim_(x->0) 5*[(5^(x^2)-1)(1+x^5)]/((1/2) x^2)$
usando il limite notevole
e qua mi blocco di nuovo!
vorrei usare il limite notevole:
$lim_(x->0) (e^(f(x))-1)/f(x) =1$
però la base è 5 e non $e$
oppure usare $lim_(x->0) (a^(x)-1)/x =1$
in questo caso però mi serve la $x$, e non $x^2$
il limite notevole è
\[\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a,\qquad, a>0\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a,\qquad, a>0\]
Vero, sbagliato a scrivere io, ma non cambia molto... ho comunque $x^2$, e quel limite vale solo per la $x$, non qualsiasi funzione, quindi non posso usarlo.
e ok ma se scrivi:
\[\lim_{x\to 0}\frac{5^{x^2}-1}{x^2}\cdot x^2= x^2\cdot\ln 5\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{5^{x^2}-1}{x^2}\cdot x^2= x^2\cdot\ln 5\]
si... così mi trovo, grazie
quindi il risultato sarebbe $10log5$
e il secondo esercizio? su che limite notevole posso basarmi?
quindi il risultato sarebbe $10log5$
e il secondo esercizio? su che limite notevole posso basarmi?
per il secondo scrivilo in forma esponeziale:
\[\lim_{x\to 0^+}\left(1+\sin 2x\right)^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt x}\cdot\ln \left(1+\sin 2x\right)}\]
e considera il limite
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln \left(1+\sin 2x\right) }{\sqrt x} \]
\[\lim_{x\to 0^+}\left(1+\sin 2x\right)^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt x}\cdot\ln \left(1+\sin 2x\right)}\]
e considera il limite
\[\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln \left(1+\sin 2x\right) }{\sqrt x} \]
ecco, era questa regola che mi era sfuggita!
$b^a = e^(b*log(a))$
grazie mille, è tutto chiaro.
sviluppando il limite col log alla fine esce 0, e mi trovo col grafico
$b^a = e^(b*log(a))$
grazie mille, è tutto chiaro.
sviluppando il limite col log alla fine esce 0, e mi trovo col grafico
la regola non è proprio quella...
\[a^x=e^{\ln a^x}=e^{x\cdot \ln a}\]
\[a^x=e^{\ln a^x}=e^{x\cdot \ln a}\]
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