Esercizio su limite

[vale143]

Buona sera a tutti,
mi rivolgo a voi chiedendovi gentilmente di aiutarmi perchè ho avuto difficoltà nel risolvere questo limite
$ lim_(x->0^{+})(tan sqrt(x) - sqrt(x(1 + 2/3 x)))/((sqrt(x) + lnx)^{5})$


Vi mostro il procedimento che ho utilizzato. Ho sviluppato le funzioni al numeratore in funzione di Taylor in 0
$ tan sqrt(x) = sqrt(x) + 1/3 xsqrt(x) + o(x^{3/2})$
$ sqrt(1 + 2/3 x) = 1 + 1/3 x - 1/9 x^{2} + o(x^{2}) $

dunque ho ottenuto

$ lim_(x->0^{+})(sqrt(x) + 1/3 xsqrt(x) - sqrt(x)(1 + 1/3 x - 1/9 x^{2}))/((sqrt(x) + lnx)^{5}) = $
$ = lim_(x->0^{+})(1/9 x^{5/2})/(x^{5/2}(1+ sqrt(x)lnx)^{5}) $

A questo punto mi tocca risolvere
$ lim_(x->0^{+})sqrt(x)lnx $
Posso utilizzare il seguente limite notevole? Ovvero che
$ lim_(x->0^{+})sqrt(x)lnx = lim_(x->0^{+})sqrt(x) (x-1) (ln(1 + x - 1))/(x-1) = 0$
Oppure posso sviluppare ancora in serie di Taylor in 0 ottenendo
$ lim_(x->0^{+})sqrt(x)lnx = lim_(x->0^{+}) 1/2 (x+1)(x-1) = - 1/2 $?

Grazie a chi mi aiuterà ad arrivare alla soluzione esatta.

[pilloeffe]

Ciao *Vale°,

C'è un errore nel tuo procedimento: raccogliendo $sqrt x$ a denominatore (che poi giustamente hai elevato alla 5), dentro la parentesi a denominatore rimane $1 + frac{ln x}{sqrt x}$. Dato che $\lim_{x to 0^{+}} frac{ln x}{sqrt x} = - \infty$, il limite che hai proposto vale $0$.