Esercizio su limite

[Raffit]

Chi può aiutarmi con questo esercizio? $limx->infty x(e^((x-1)/x)-e) $ forse è banale ma non riesco a venirne a capo. Dovrebbe venire -e

[Noisemaker]

comincia raccogliendo una $e$:
\[\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac{x-1}{x}}-e\right)=\lim_{x\to+\infty}e\cdot x\left(e^{\frac{x-1}{x}-1}-1\right)=e\cdot\lim_{x\to+\infty} x\left(e^{-\frac{1}{x} }-1\right)\]

[Raffit]

Ho seguito il tuo consiglio ma continua a venirmi un risultato sbagliato. Mi torna sempre $ infty $ Come può essere?

[Noisemaker]

forse sbagli qualcosa .... . devi ricordare il limite notevole
\[\lim_{x\to0} \frac{e^{x}-1}{x}=1;\]
ora, nel limite poni $-1/x=t,$ avrai che se $x\to+\infty, t\to 0,$ e quindi il limite diviene:
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac{x-1}{x}}-e\right)&=\lim_{x\to+\infty}e\cdot x\left(e^{\frac{x-1}{x}-1}-1\right)=e\cdot\lim_{x\to+\infty} x\left(e^{-\frac{1}{x} }-1\right)\stackrel{-1/x=t }{=}e\cdot\lim_{t\to 0}-\frac{1}{t}\left(e^{t }-1\right)\\
&=-e\cdot\lim_{t\to 0} \frac{e^{t }-1}{t} =-e\cdot 1=-e.
\end{align}

[Raffit]

"Noisemaker":forse sbagli qualcosa .... . devi ricordare il limite notevole
\[\lim_{x\to0} \frac{e^{x}-1}{x}=1;\]
ora, nel limite poni $-1/x=t,$ avrai che se $x\to+\infty, t\to 0,$ e quindi il limite diviene:
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{\frac{x-1}{x}}-e\right)&=\lim_{x\to+\infty}e\cdot x\left(e^{\frac{x-1}{x}-1}-1\right)=e\cdot\lim_{x\to+\infty} x\left(e^{-\frac{1}{x} }-1\right)\stackrel{-1/x=t }{=}e\cdot\lim_{t\to 0}-\frac{1}{t}\left(e^{t }-1\right)\\
&=-e\cdot\lim_{t\to 0} \frac{e^{t }-1}{t} =-e\cdot 1=-e.
\end{align}

Grazie mille! Io ero appena arrivato alla soluzione ma da un'altra via, dopo aver posto x=1/t la funzione viene $ 1/t (e^-t -1) $, poi ho sviluppato con Taylor $ e^-t $ fino al primo grado e viene $ 1/t (1-t-1) $ e alla fine resta soltanto $- t/t $ che viene appunto -1. Ma come hai fatto tu è molto meglio!