Esercizio su Level Set
Sia $f:RR^3->RR^2$ la funzione definita da
$f(x)=(((x_1)^2+2(x_2)^2+2(x_3)^2),(x_1x_2x_3))$ e sia
$a=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$
Si determinino i sottospazi affini di $RR^3$ rispettivamente ortogonale e tangente a $LS(f,f(a))$ nel punto $a$
Io ho fatto così:
mi sono trovato la matrice Jacobiana di $f(x)$, ovvero $Jf(x)=( ( 2x_1 , 4x_2 , 4x_3 ),( x_2x_3 , x_1x_3 , x_1x_2 ) )$
la calcolo nel punto $a$, quindi $Jf(a)=( ( 2 , 4 , 4 ),( 1 , 1 , 1 ) )$ (possiamo vedere che $a$ è un punto regolare)
A questo punto, il sottospazio affine di $RR^3$ ortogonale a $LS(f,f(a))$ in $a$ è $a+H(f,a)$ dove $H(f,a)$ è lo spazio generato dalle colonne della matrice jacobiana trasposta, quindi
$H(f,a)=<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ e quindi $a+H(f,a)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ $=$ $<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$
Il sottospazio affine di $RR^3$ tangente a $LS(f,f(a))$ nel punto $a$ è $a+T(f,a)$ dove $T(f,a)=H(f,a)^bot$, ed ha dimensione 1.
Omettendo i calcoli ottengo che $T(f,a)=<( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )>$ e quindi $a+T(f,a)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+<( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )>$.
Sono giusti i calcoli e i ragionamenti? grazie in anticipo :D
$f(x)=(((x_1)^2+2(x_2)^2+2(x_3)^2),(x_1x_2x_3))$ e sia
$a=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$
Si determinino i sottospazi affini di $RR^3$ rispettivamente ortogonale e tangente a $LS(f,f(a))$ nel punto $a$
Io ho fatto così:
mi sono trovato la matrice Jacobiana di $f(x)$, ovvero $Jf(x)=( ( 2x_1 , 4x_2 , 4x_3 ),( x_2x_3 , x_1x_3 , x_1x_2 ) )$
la calcolo nel punto $a$, quindi $Jf(a)=( ( 2 , 4 , 4 ),( 1 , 1 , 1 ) )$ (possiamo vedere che $a$ è un punto regolare)
A questo punto, il sottospazio affine di $RR^3$ ortogonale a $LS(f,f(a))$ in $a$ è $a+H(f,a)$ dove $H(f,a)$ è lo spazio generato dalle colonne della matrice jacobiana trasposta, quindi
$H(f,a)=<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ e quindi $a+H(f,a)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ $=$ $<( ( 2 ),( 4 ),( 4 ) ),( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$
Il sottospazio affine di $RR^3$ tangente a $LS(f,f(a))$ nel punto $a$ è $a+T(f,a)$ dove $T(f,a)=H(f,a)^bot$, ed ha dimensione 1.
Omettendo i calcoli ottengo che $T(f,a)=<( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )>$ e quindi $a+T(f,a)=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+<( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )>$.
Sono giusti i calcoli e i ragionamenti? grazie in anticipo :D
Risposte
Up! 
Nessuno che mi risponde? 
Forse dovresti chiarire cos'è il [tex]$LS(\cdot;\cdot)$[/tex]? 
per LS si intende l'insieme di livello $d$ di $f$ ovvero $LS(f;d)={((x),(y)) in omega: f((x),(y))=d} sub omega$
con $omega sub RR^(n+m)$ e $f:omega->RR^m$
con $omega sub RR^(n+m)$ e $f:omega->RR^m$
help me
C'è qualche problema di inconsistenza notazionale.
Se usi $< v >$ per indicare il sottospazio generato dal vettore $v$, allora il sottospazio affine che stai cercando è
$((1), (1), (1)) + < ((0), (-1), (1)) >$
o, in maniera più esplicita,
$((1), (1), (1)) + t \ ((0), (-1), (1))$, $t\in\mathbb{R}$.
Se usi $< v >$ per indicare il sottospazio generato dal vettore $v$, allora il sottospazio affine che stai cercando è
$((1), (1), (1)) + < ((0), (-1), (1)) >$
o, in maniera più esplicita,
$((1), (1), (1)) + t \ ((0), (-1), (1))$, $t\in\mathbb{R}$.
non riesco a leggere nelle tue formule 
ok ho corretto come mi hai suggerito
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