Esercizio su integrazione in fratti semplici

[smule98]

Ciao ragazzi per risolvere il seguente integrale in fratti semplici

$\int (x^2+7x+12)/(x^3(x+3))dx$

Si può procedere in questo modo con il cubo al denominatore? O devo avere per forza come grado massimo $x^2$?

$(Ax+B)/x^3+C/(x+3)$

[l'abatefarina]

al denominatore non hai polinomi irriducibili, quindi la regola dice che devi scrivere la frazione in questo modo
$A/x+B/x^2+C/x^3+(Dx+E)/(x+3)$

[Mephlip]

"l'abatefarina":
$A/x+B/x^2+C/x^3+(Dx+E)/(x+3)$

Perché $Dx+E$ per $x+3$? Non è necessario, basta
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+3}$$

[axpgn]

@smule98

Inoltre puoi semplificare prima di scomporre ...

$(x^2+7x+12)/(x^3(x+3))=((x+4)(x+3))/(x^3(x+3))=(x+4)/x^3$

[l'abatefarina]

sì smule , mi sono confuso
segui inoltre il suggerimento di axpgn, quindi arriva fino a C

[gugo82]

Puoi fare in due modi, nessuno dei quali è quello che hai usato.
O scrivi una cosa tipo:

$A/x + B/x^2 + C/x^3 + D/(x + 2)$

(o qualcosa di simile, ma col denominatore comune tra i termini in $x$, i.e. $(Ax^2 + Bx + C)/x^3 + D/(x+2)$), oppure usi la formula di Hermite:

$A/x + B/(x +2) +("d")/("d"x)[(ax + b)/x^2]$.

In ogni caso, però, c'è un modo per controllare se hai scritto (almeno dimensionalmente) la scomposizione giusta: le costanti incognite devono essere tante quante il grado del polinomio al denominatore della frazione da scomporre.


P.S.: Scrivevo mentre lo facevano anche altri...
In più vedo che axpgn ha notato che la frazione non è ridotta ai minimi termini, cosa che va controllata subito, prima di scomporre.

[smule98]

Chiarissimi, grazie mille a tutti

[pilloeffe]

Ciao smule98,

Comunque dopo l'osservazione di Alex la scomposizione è immediata e l'integrale anche:

$ \int (x^2+7x+12)/(x^3(x+3))\text{d}x = \int (x+4)/x^3 \text{d}x = \int (1/x^2+4/x^3) \text{d}x = -(x + 2)/x^2 + c $