Esercizio su integrali e residui, sbaglio io o il testo?
Salve a tutti, oggi mi sono imbattuto nel testo di un esercizio che di per sè come svolgimento non presenta problemi, anzi è piuttosto facile...tuttavia c'è un'imprecisione (almeno secondo me 
) nel testo che vorrei chiarire. Ecco l'esercizio:
Calcolare l'integrale $ int_(0)^(2pi) 1/(1+acostheta)d theta $ con $|a|<1$.
Con il cambio di variabile $z=e^(itheta)$ (indicando con $C_1(O)$ una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine) risulta $ int_(0)^(2pi) 1/(1+acostheta)d theta = 2/ioint_(C_1(O)) dz / (az^2+2z+a) = ?$
Il problema sta qui: di norma il valore dell'integrale dovrebbe essere $2pii (2/i sum_(k) Res{f(z_k)})$ dove $f(z)=1/(az^2+2z+a)$, e i $z_k$ sono i poli (in questo caso i valori che annullano il denominatore) della $f(z)$ che si trovano all'interno della circonferenza $C_1(O)$...Quello che mi chiedo è: ma questi poli non dipendono totalmente dal valore di $a$? Due conti prima di andare avanti:
da $az^2+2z+a =0$ segue $z=-1/a \pm sqrt(1/a^2-1)$, dunque $z_1=-1/a + sqrt(1/a^2-1)$ e $z_2=-1/a - sqrt(1/a^2-1)$
L'informazione che ci da il testo è $|a|<1$, ma a cosa ci serve quest'informazione, come potremmo concludere ad esempio che uno solo, entrambi o nessuno dei due poli cada all'interno della $C_1(O)$?
Il testo continua e suggerisce che $z_1$ è l'unico dei due che ricade all'interno di $C_1(O)$...ma cosa succede ad esempio per $a = -1/37$? $z_1=37+sqrt(37^2-1)$ e dubito fortemente che questo numero abbia nel piano complesso ascissa minore di $1$
A questo punto mi chiedo: sto sbagliando qualcosa io? o ha sbagliato il testo? e in tal caso come correggerlo?
) nel testo che vorrei chiarire. Ecco l'esercizio:Calcolare l'integrale $ int_(0)^(2pi) 1/(1+acostheta)d theta $ con $|a|<1$.
Con il cambio di variabile $z=e^(itheta)$ (indicando con $C_1(O)$ una circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine) risulta $ int_(0)^(2pi) 1/(1+acostheta)d theta = 2/ioint_(C_1(O)) dz / (az^2+2z+a) = ?$
Il problema sta qui: di norma il valore dell'integrale dovrebbe essere $2pii (2/i sum_(k) Res{f(z_k)})$ dove $f(z)=1/(az^2+2z+a)$, e i $z_k$ sono i poli (in questo caso i valori che annullano il denominatore) della $f(z)$ che si trovano all'interno della circonferenza $C_1(O)$...Quello che mi chiedo è: ma questi poli non dipendono totalmente dal valore di $a$? Due conti prima di andare avanti:
da $az^2+2z+a =0$ segue $z=-1/a \pm sqrt(1/a^2-1)$, dunque $z_1=-1/a + sqrt(1/a^2-1)$ e $z_2=-1/a - sqrt(1/a^2-1)$
L'informazione che ci da il testo è $|a|<1$, ma a cosa ci serve quest'informazione, come potremmo concludere ad esempio che uno solo, entrambi o nessuno dei due poli cada all'interno della $C_1(O)$?
Il testo continua e suggerisce che $z_1$ è l'unico dei due che ricade all'interno di $C_1(O)$...ma cosa succede ad esempio per $a = -1/37$? $z_1=37+sqrt(37^2-1)$ e dubito fortemente che questo numero abbia nel piano complesso ascissa minore di $1$
A questo punto mi chiedo: sto sbagliando qualcosa io? o ha sbagliato il testo? e in tal caso come correggerlo?
Risposte
Ciao! Secondo me distingui i casi $a>0$ e $a<0$. Una volta capita uno una volta l'altro...ovviamente $a$ e' fissato e vale una e una sola delle 2 a meno che non sia nullo (ma in tal caso l'integrale e' banale). Poi in base al segno calcoli i residui, dato che risultano essere poli sempici. Scrivi il polinomio di secondo grado come prodotto:
$\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}$ con $z1=-\frac{1}{a}-\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}$ e $z_2=-\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}$.
Caso 1 $0
Caso 2 $-1
Quindi probabilmente, se ho fatto bene i calcoli, il suggerimento era incompleto...
$\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}$ con $z1=-\frac{1}{a}-\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}$ e $z_2=-\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}$.
Caso 1 $0
Caso 2 $-1
Quindi probabilmente, se ho fatto bene i calcoli, il suggerimento era incompleto...
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