Esercizio su integrali - dubbi
Ciao a tutti, avrei questo integrare da calcolare, solo che ho alcuni dubbi in alcuni punti, che vi espongo man mano sperando nel vostro aiuto.
l'integrale è: $\int_[-infty]^[+infty]e^(-|x-2|)dx$
Io lo svolgerei così: innanzitutto ho che $x-2>=0 <=>x>2$, e quindi spezzo l'integrale originale in due intervalli, nei quali giro il segno dell'esponente per via del modulo assoluto. Quindi diventa:
$\int_[-infty]^[+infty]e^(-|x-2|)dx = \int_[-infty]^[2]e^(x-2)dx + \int_[2]^[+infty]e^(-x+2)dx = I+II$
primo dubbio: per lo studio del limite per $x->2$ nella scomposizione dell'integrale, devo considerare $x->2^-$ per il primo integrale e $x->2$ per il secondo oppure visto che la funzione originale è definita in due posso tranquillamente calcolare il limite per $x->2$ per entrambi?
Continuando, studio l'integrale $I$:
$\lim_(x->-infty)(e^(x-2))=0$ mentre $\lim_(x->2)(e^(x-2))=1$
studio l'integrale $II$:
$\lim_(x->2)(e^(-x+2))=\lim_(x->2)(1/e^(x-2))=1$ mentre $\lim_(x->+infty)(e^(-x+2))=\lim_(x->+infty)(1/e^(x-2))=0$
quindi tornando all'integrale iniziale ho che:
$I+II = \int_[-infty]^[2]e^(x-2)dx + \int_[2]^[+infty]e^(-x+2)dx =1/e^2*\int_[-infty]^[2](e^x)dx + e^2*\int_[2]^[+infty](e^-x)dx =$
$= e^-2*[e^x]|_(-infty)^[2] + e^2*[-e^-x]|_[2]^[+infty]= 1/e^2*(e^2-e^(-infty))+e^2*(-e^-(+infty)-(-e^2)) = 1+1$
e qui l'esercizio termina con l'integrale che converge e l'area sottesa è $1+1=2$.
secondo dubbio: studiare i limiti in questo caso era necessario? perchè alla fine non è che li abbia usati, anzi inizialmente mi hanno portato su una strada sbagliata.. da quanto ho capito, i limiti mi possono servire per ricondurmi a delle funzioni di cui conosco già il comportamento per x che tende a qualcosa (correggetemi se sbaglio), e sfruttando il confronto asintotico posso calcolare il valore di un integrale ad esempio a più infinito sulla base del comportamento di un altro integrale.
Spero di essere stato il più chiaro possibile, e di non aver fatto troppi errori di scrittura nelle formule. Grazie in anticipo dell'aiuto, ciao!
***edit: avevo sbagliato a calcolare il risultato, ora dovrebbe essere corretto***
l'integrale è: $\int_[-infty]^[+infty]e^(-|x-2|)dx$
Io lo svolgerei così: innanzitutto ho che $x-2>=0 <=>x>2$, e quindi spezzo l'integrale originale in due intervalli, nei quali giro il segno dell'esponente per via del modulo assoluto. Quindi diventa:
$\int_[-infty]^[+infty]e^(-|x-2|)dx = \int_[-infty]^[2]e^(x-2)dx + \int_[2]^[+infty]e^(-x+2)dx = I+II$
primo dubbio: per lo studio del limite per $x->2$ nella scomposizione dell'integrale, devo considerare $x->2^-$ per il primo integrale e $x->2$ per il secondo oppure visto che la funzione originale è definita in due posso tranquillamente calcolare il limite per $x->2$ per entrambi?
Continuando, studio l'integrale $I$:
$\lim_(x->-infty)(e^(x-2))=0$ mentre $\lim_(x->2)(e^(x-2))=1$
studio l'integrale $II$:
$\lim_(x->2)(e^(-x+2))=\lim_(x->2)(1/e^(x-2))=1$ mentre $\lim_(x->+infty)(e^(-x+2))=\lim_(x->+infty)(1/e^(x-2))=0$
quindi tornando all'integrale iniziale ho che:
$I+II = \int_[-infty]^[2]e^(x-2)dx + \int_[2]^[+infty]e^(-x+2)dx =1/e^2*\int_[-infty]^[2](e^x)dx + e^2*\int_[2]^[+infty](e^-x)dx =$
$= e^-2*[e^x]|_(-infty)^[2] + e^2*[-e^-x]|_[2]^[+infty]= 1/e^2*(e^2-e^(-infty))+e^2*(-e^-(+infty)-(-e^2)) = 1+1$
e qui l'esercizio termina con l'integrale che converge e l'area sottesa è $1+1=2$.
secondo dubbio: studiare i limiti in questo caso era necessario? perchè alla fine non è che li abbia usati, anzi inizialmente mi hanno portato su una strada sbagliata.. da quanto ho capito, i limiti mi possono servire per ricondurmi a delle funzioni di cui conosco già il comportamento per x che tende a qualcosa (correggetemi se sbaglio), e sfruttando il confronto asintotico posso calcolare il valore di un integrale ad esempio a più infinito sulla base del comportamento di un altro integrale.
Spero di essere stato il più chiaro possibile, e di non aver fatto troppi errori di scrittura nelle formule. Grazie in anticipo dell'aiuto, ciao!
***edit: avevo sbagliato a calcolare il risultato, ora dovrebbe essere corretto***
Risposte
In realtà hai effettivamente detto più cose rispetto a quelle che ti servivano. Per prima cosa, avresti potuto usare la sostituzione $t=x-2$ così da avere l'integrale
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|}\ dt=\int_{-\infty}^0 e^t\ dt+\int_0^{+\infty} e^{-t}\ dt$
Ora nel primo integrale, ponendo $t=-s$ si ha $\int_{+\infty}^0 e^{-s}\ (-ds)=\int_0^{+\infty} e^{-s}\ ds$, pertanto, a meno della variabile (muta) di integrazione, il tuo integrale originale risulta pari a
$2\int_0^{+\infty} e^{-t}\ dt$
Ora, per prima cosa, tale integrale presenta problemi solo per $t\to +\infty$, in quanto in $t=0$ (e nel caso originale in $x=2$) la funzione è ben definita ed è continua. Poiché $\lim_{t\to +\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}=0$ per ogni $\alpha >0$, segue che la tua funzione è integrabile (perché?). Calcolando esplicitamente l'integrale si ha allora (e qui hai bisogno del limite)
$2\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\ dt=2\lim_{a\to+\infty}\int_0^a e^{-t}\ dt=2\lim_{a\to +\infty}[-e^{-t}]_0^a=2\lim_{a\to+\infty}[-e^{-a}+1]=2$
P.S.: nel calcolo che fai dell'integrale, hai commesso un'errore nella seconda sostituzione, in quanto deve venire fuori un $e^{-2}$ tra parentesi.
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|}\ dt=\int_{-\infty}^0 e^t\ dt+\int_0^{+\infty} e^{-t}\ dt$
Ora nel primo integrale, ponendo $t=-s$ si ha $\int_{+\infty}^0 e^{-s}\ (-ds)=\int_0^{+\infty} e^{-s}\ ds$, pertanto, a meno della variabile (muta) di integrazione, il tuo integrale originale risulta pari a
$2\int_0^{+\infty} e^{-t}\ dt$
Ora, per prima cosa, tale integrale presenta problemi solo per $t\to +\infty$, in quanto in $t=0$ (e nel caso originale in $x=2$) la funzione è ben definita ed è continua. Poiché $\lim_{t\to +\infty}\frac{e^{-t}}{t^\alpha}=0$ per ogni $\alpha >0$, segue che la tua funzione è integrabile (perché?). Calcolando esplicitamente l'integrale si ha allora (e qui hai bisogno del limite)
$2\int_{0}^{+\infty} e^{-t}\ dt=2\lim_{a\to+\infty}\int_0^a e^{-t}\ dt=2\lim_{a\to +\infty}[-e^{-t}]_0^a=2\lim_{a\to+\infty}[-e^{-a}+1]=2$
P.S.: nel calcolo che fai dell'integrale, hai commesso un'errore nella seconda sostituzione, in quanto deve venire fuori un $e^{-2}$ tra parentesi.
innanzitutto grazie per la risposta, finchè stavi scrivendo il post ho corretto l'errore che mi hai giustamente segnalato sul risultato dell'integrale.
per quanto riguarda il tuo procedimento, ti seguo solo fino ad un certo punto.. il pratica tu stai sfruttando il fatto che la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle y, quindi ti basta calcolare solo l'area sottesa dalla funzione tra $[0,+infty]$ e quindi moltiplicarla per due (se invece di usare $t$ avessi tenuto $x-2$ il grafico sarebbe stato lo stesso, solo traslato ).
Fin qui ci sono, poi però non capisco da dove è spuntato $e^-t/t^\alpha$ (probabilmente sarà un passaggio banale ma al momento ho il cervello cotto).
Per quanto riguarda i 2 dubbi che avevo, sapresti darmi una dritta?
grazie in ogni caso, avere più strade per la risoluzione di un esercizio è sicuramente comodo e importante
per quanto riguarda il tuo procedimento, ti seguo solo fino ad un certo punto.. il pratica tu stai sfruttando il fatto che la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle y, quindi ti basta calcolare solo l'area sottesa dalla funzione tra $[0,+infty]$ e quindi moltiplicarla per due (se invece di usare $t$ avessi tenuto $x-2$ il grafico sarebbe stato lo stesso, solo traslato ).
Fin qui ci sono, poi però non capisco da dove è spuntato $e^-t/t^\alpha$ (probabilmente sarà un passaggio banale ma al momento ho il cervello cotto).
Per quanto riguarda i 2 dubbi che avevo, sapresti darmi una dritta?
grazie in ogni caso, avere più strade per la risoluzione di un esercizio è sicuramente comodo e importante
Per i due dubbi, mi sembra di averti risposto: non hai bisogno di fare considerazioni in $x=2$ (così come io non ne ho fatte in $t=0$. Per il secondo, invece, devi usare il fatto che $\lim_{t\to+\infty}e^{-t}=0$ per avere una condizione (necessaria ma non sufficiente) affinché l'integrale esista finito. Per avere anche una condizione sufficiente, usa il limite (notevole se vuoi) che ho scritto: esso si dimostra banalmente osservando che
$\lim_{t\to+\infty}{e^{-t}}/{t^\alpha}=\lim_{t\to+\infty}1/{e^t t^{\alpha}}=0$
e questo implica che $e^{-t}=o(t^\alpha)$ in $t\to+\infty$ per qualsiasi valore di $\alpha>0$.
$\lim_{t\to+\infty}{e^{-t}}/{t^\alpha}=\lim_{t\to+\infty}1/{e^t t^{\alpha}}=0$
e questo implica che $e^{-t}=o(t^\alpha)$ in $t\to+\infty$ per qualsiasi valore di $\alpha>0$.
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