Esercizio su integrali di linea, esprimere variabile in funzione del parametro arco
Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
"Verificare che la spirale logaritmica, di equazione polare $p = e^(btheta)$, $theta in (-oo, +oo)$, è un arco di curva regolare.
Calcolare $ds$.
Esprimere poi $theta$ in funzione del parametro arco $s$."
Per prima cosa riparametrizzo:
$x(theta)=e^(btheta)cos(theta)$
$y(theta)=e^(btheta)sin(theta)$
Studio continuità e derivabilità, e verifico che la curva è regolare.
Mi calcolo $ds$, che mi viene $e^(btheta)sqrt(1+b^2)d\theta$, e fin qui tutto bene (credo).
Procedo integrando $ds$, per trovarmi la relazione fra $s$ e $theta$, ma mi ritrovo con un integrale divergente...
Come faccio a esprimere $s$ in funzione di $theta$? Posso restringere l'intervallo da $(-oo, +oo)$ a $[0, 2pi]$, trattandosi di funzioni trigonometriche, e procedere a calcolare l'integrale che così viene finito?
Grazie
"Verificare che la spirale logaritmica, di equazione polare $p = e^(btheta)$, $theta in (-oo, +oo)$, è un arco di curva regolare.
Calcolare $ds$.
Esprimere poi $theta$ in funzione del parametro arco $s$."
Per prima cosa riparametrizzo:
$x(theta)=e^(btheta)cos(theta)$
$y(theta)=e^(btheta)sin(theta)$
Studio continuità e derivabilità, e verifico che la curva è regolare.
Mi calcolo $ds$, che mi viene $e^(btheta)sqrt(1+b^2)d\theta$, e fin qui tutto bene (credo).
Procedo integrando $ds$, per trovarmi la relazione fra $s$ e $theta$, ma mi ritrovo con un integrale divergente...
Come faccio a esprimere $s$ in funzione di $theta$? Posso restringere l'intervallo da $(-oo, +oo)$ a $[0, 2pi]$, trattandosi di funzioni trigonometriche, e procedere a calcolare l'integrale che così viene finito?
Grazie
Risposte
Viene:
$s(\theta) = \int_{- \infty}^{\theta} e^{b\tau}\sqrt{1+b^2}d\tau = \sqrt{1+b^2} 1/b e^{b\theta} $
Dunque:
$ \theta(s) = 1/b \log(\frac{sb}{\sqrt{1+b^2}}) $
$s(\theta) = \int_{- \infty}^{\theta} e^{b\tau}\sqrt{1+b^2}d\tau = \sqrt{1+b^2} 1/b e^{b\theta} $
Dunque:
$ \theta(s) = 1/b \log(\frac{sb}{\sqrt{1+b^2}}) $
ciao, grazie per la risposta.
perché da $-oo$ a $theta$ se l'intervallo è $(-oo,+oo)$?
perché da $-oo$ a $theta$ se l'intervallo è $(-oo,+oo)$?
Ciao! La curva che tu hai postato ha in tutto una lunghezza che è infinita in effetti; tuttavia a noi è richiesto di trovare $s$ in funzione di $\theta$, ovvero lo spazio percorso lungo la curva quando $\theta$ assume un certo valore. È comodo vedere in questi problemi $\theta$ come il tempo: dopo tot unità di tempo avrò percorso un certo spazio sulla curva; $s$, l'ascissa curvilinea, esprime proprio questo.
Avremmo dovuto integrare tra $-\infty$ e $+\infty$ se ci avessero chiesto la lunghezza totale della curva, richiesta che non avrebbe avuto molto senso essendo la curva infinitamente estesa!
Avremmo dovuto integrare tra $-\infty$ e $+\infty$ se ci avessero chiesto la lunghezza totale della curva, richiesta che non avrebbe avuto molto senso essendo la curva infinitamente estesa!
grazie mille, ora ci sono, spiegazione molto chiara!
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