Esercizio su Integrali & derivate - da dove iniziare?
Salve a tutti,
vi propongo il seguente esercizio sperando che possiate darmi qualche dritta per capire da dove iniziare! sono uno di quelli che si "bloccano" di fronte alle cose "strane", anche se suppongo che questo esercizio sia più semplice del previsto, e venga dato solo per mettere in crisi il povero malcapitato..
$\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt + d/(dx)*(x^(e^(x^3) ))$
(se non si legge l'ultima parte, sappiate che è un x^e^x^3)
Tornando all'esercizio, il primo blocco ce l'ho di fronte all'integrale... il fatto di avere due variabili differenti (x e t) mi mette in crisi... la seconda parte invece dovrebbe essere una "banale" derivata.
Si accetta ogni tipo di consiglio/suggerimento, grazie in anticipo, ciao!
vi propongo il seguente esercizio sperando che possiate darmi qualche dritta per capire da dove iniziare! sono uno di quelli che si "bloccano" di fronte alle cose "strane", anche se suppongo che questo esercizio sia più semplice del previsto, e venga dato solo per mettere in crisi il povero malcapitato..
$\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt + d/(dx)*(x^(e^(x^3) ))$
(se non si legge l'ultima parte, sappiate che è un x^e^x^3)
Tornando all'esercizio, il primo blocco ce l'ho di fronte all'integrale... il fatto di avere due variabili differenti (x e t) mi mette in crisi... la seconda parte invece dovrebbe essere una "banale" derivata.
Si accetta ogni tipo di consiglio/suggerimento, grazie in anticipo, ciao!
Risposte
Ciao
il fatto di avere delle variabili differenti non conta nulla, devi capire qual è la variabile di integrazione e svolgere quindi l'integrale considerando unicamente quella variabile.
Nel tuo caso la variabile è $t$, quindi l'integrale lo svolgi in base a $t$
Ti faccio degli esempi:
$\int_0^1 \psi \ \dpsi =[(\psi^2)/2]_0^1=1/2$
$\int_0^x r dr =[(r^2)/2]_0^x=(x^2)/2$
Ora tornando al tuo esercizio il primo integrale prova a svolgerlo per parti.
ciao
il fatto di avere delle variabili differenti non conta nulla, devi capire qual è la variabile di integrazione e svolgere quindi l'integrale considerando unicamente quella variabile.
Nel tuo caso la variabile è $t$, quindi l'integrale lo svolgi in base a $t$
Ti faccio degli esempi:
$\int_0^1 \psi \ \dpsi =[(\psi^2)/2]_0^1=1/2$
$\int_0^x r dr =[(r^2)/2]_0^x=(x^2)/2$
Ora tornando al tuo esercizio il primo integrale prova a svolgerlo per parti.
ciao
Grazie per la risposta! Provo a far l'integrale come dici tu, tralasciando il fatto delle variabili diverse:
integro per parti $\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt$ tramite la formula $\intf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-\intf'(x)*g(x)dx$
pongo: $f = t$, $f'=1$, $g=2cos(t/2)$, $g'=sin(t/2)$
e ottengo: $\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] - \int_[x]^[2x]1*2cos(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] -2 \int_[x]^[2x]cos(t/2)dt $
e l'integrale diretto di $cos(t/2)$ è $2sen(t/2)$ quindi, riassumendo:
$\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] -4[sen(t/2)]|_[x]^[2x]$
A questo punto, errori di calcolo a parte, come devo procedere? semplicemente svolgendo i calcoli con la formula $\int_[a]^f(x) = F(b)-F(a)$?
(nel dubbio intanto la scrivo)
$= 4*x*cos(x)-2*x*cos(x/2) - 4*sen(x)+4*sen(x/2) = $
$= 4(xcos(x)-sen(x)+sen(x/2))-2xcos(x/2)$
sono sulla retta via? nel mentre grazie ancora per l'aiuto!
integro per parti $\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt$ tramite la formula $\intf(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-\intf'(x)*g(x)dx$
pongo: $f = t$, $f'=1$, $g=2cos(t/2)$, $g'=sin(t/2)$
e ottengo: $\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] - \int_[x]^[2x]1*2cos(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] -2 \int_[x]^[2x]cos(t/2)dt $
e l'integrale diretto di $cos(t/2)$ è $2sen(t/2)$ quindi, riassumendo:
$\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt = [t*2cos(t/2)]|_[x]^[2x] -4[sen(t/2)]|_[x]^[2x]$
A questo punto, errori di calcolo a parte, come devo procedere? semplicemente svolgendo i calcoli con la formula $\int_[a]^f(x) = F(b)-F(a)$?
(nel dubbio intanto la scrivo)
$= 4*x*cos(x)-2*x*cos(x/2) - 4*sen(x)+4*sen(x/2) = $
$= 4(xcos(x)-sen(x)+sen(x/2))-2xcos(x/2)$
sono sulla retta via? nel mentre grazie ancora per l'aiuto!
@BeNdErR: Ma l'esercizio cosa ti chiede di preciso?
"gugo82":
@BeNdErR: Ma l'esercizio cosa ti chiede di preciso?
l'esercizio dice semplicemente "Si calcoli $\int_[x]^[2x]t*sin(t/2)dt + d/(dx)*(x^(e^(x^3) ))$"
"BeNdErR":
$f = t$, $f'=1$, $g=2cos(t/2)$, $g'=sin(t/2)$
occhio al segno di $g$
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