Esercizio su integrali

[nadia891]

Buongiorno a tutti.

Esercizio:
$"sia" f:[a,+ infty] to RR, f>= 0, f "continua in" [a,+infty] , f "limitata" . "Supponiamo esista" lim _(x to + infty) f(x)= lambda >0$.$" Domanda" : EE \int _ a^ (+ infty ) f(x) dx?$
$ " Mia risposta "$:
$ "posto" epsilon = lambda/2 , EE M>0 t.c. AA x>M , 1/2 lambda <= f(x)< 3/2 lambda = > x>M , 0 x>M , 0 x>M , 0 < lim _(c to + infty )int_a^c f(x)< lim _(c to + infty ) int_a^c 3/2 lambda =>x>M , 0 < lim _(c to + infty )int_a^c f(x)< lim _(c to + infty ) 3/2 lambda (c-a) => x>M , 0 < lim _(c to + infty )int_a^c f(x)< + infty..$


$" Solo che qui mi blocco perche questa disuguaglianza non mi dimostra niente ne che il " lim _(c to + infty )int_a^c f(x) AA RR "(e quindi " EE "integrale ) $ "ne che e uguale a " + infty ! $

[Luca.Lussardi]

Forse ti sei incartata ma è semplice...

$f(x)>\lambda/2$ per ogni $x>x_0$ da cui $\int_a^c f(x)dx > \int_(x_0)^c \lambda/2 dx$ per $c$ abbastanza grande, e quindi $\int_a^c f(x)dx \to +\infty$ per $c \to +\infty$.

[nadia891]

si perchè hai posto $\int_(x_0 )^c 1/2 lambda$ non posso considerare semplicemente $\int_a ^c 1/2 lambda $ ?

[Luca.Lussardi]

Perchè $f>\lambda/2$ lo hai solo in $(x_0,+\infty)$.

[nadia891]

si e alllora non capisco perchè $\int _a^c f(x) dx > int_(x_0)^c 1/2 lambda dx$ chi me lo garantisce questo?

[Luca.Lussardi]

$f$ è positiva quindi $\int_a^c f(x)dx > \int_(x_0)^c f(x)dx$ se $x_0 \in (a,+\infty)$.

[nadia891]

giusto! Mi sorge una domanda.. ma se $lambda to 0^+ $? in questo caso $EE \int _a^c f(x) $..

[Luca.Lussardi]

$\int_a^c f(x)dx$ esiste sempre perchè $f$ è continua su $[a,c]$; anche $\int_a^(+\infty)f(x)\dx$ esiste sicuramente poichè dal momento che $f\ge0$ si ha anche
$\int_a^(+\infty)f(x)dx=$sup${\int_a^c f(x)dx: c >a}$.

[nadia891]

si in realtà con esiste intendo dire integrale convergente..

[Luca.Lussardi]

Potrebbe divergere anche se $\lambda=0$: $f(x)=1/x$ su $[1,+\infty)$.

[nadia891]

scusa se insisto però ci tengo a capire bene ma se $lambda to 0 ^+$ avrò che$ 0<= f(x) <3/2lambda => 0<= int_a^c f(x) 0<= int_a^c f(x) <0 =>0<= lim _(c to +infty )int_a^c f(x) <0 ..$ quindi da qui $lim _(c to +infty )int_a^c f(x)=0$ . Cosa c'è di sbagliato in questo mio ragionamento?

[Luca.Lussardi]

Come fa ad essere $\int_a^c f(x)dx < \int_(x_0)^c f(x)dx$?

[nadia891]

No ho sbagliato e non è l'unico sbaglio.. allora lo rifaccio:
$ 0 00$
$0

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[Luca.Lussardi]

Tanto non vai da nessuna parte perchè c'è il controesempio di $1/x$ che non è sommabile in $[1,+\infty)$...