Esercizio su integrali
calcolare $int_gamma v cdot t ds $
con
$v(x,y)=(1/sqrty)i+j$
$gamma=gamma_1 cup gamma_2$ , $gamma_1= 2x-x^2+3, x in [0,2];gamma_2=$segmento conginungente gli estremi di $gamma_1$
svolgo:
il diagramma di $gamma_1$ è la semicirconferenza di raggio 1 e centro $1,3$ ricavata semplicemente sostituendo i valori di x compresi tra $[0,2]$
quinid la parametrizzo e mi viene $gamma_1={x=rhocostheta,y=rhosintheta$ con $rho=1,theta=[0,pi]$
mentre $gamma_2$ è il segmento dato da $y=3$ compresa tra [0,2] che parametrizzato mi da $gamma_2={x=t,y=3$ con $t=[0,2]$
svolgo prima il secondo che mi sembra piu facile ed ho $int_0^2 1/sqrt3 + 1dt = 1/sqrt3 [t]_0^2 + [t]_0^2=2/sqrt3+2$
il secondo ho $int_0^(pi) (1/sqrt(sentheta)+1) cdot (-sintheta + costheta) d theta=int_0^(pi) -(sintheta)/sqrt(sintheta) + costheta d theta$
e giusto?
con
$v(x,y)=(1/sqrty)i+j$
$gamma=gamma_1 cup gamma_2$ , $gamma_1= 2x-x^2+3, x in [0,2];gamma_2=$segmento conginungente gli estremi di $gamma_1$
svolgo:
il diagramma di $gamma_1$ è la semicirconferenza di raggio 1 e centro $1,3$ ricavata semplicemente sostituendo i valori di x compresi tra $[0,2]$
quinid la parametrizzo e mi viene $gamma_1={x=rhocostheta,y=rhosintheta$ con $rho=1,theta=[0,pi]$
mentre $gamma_2$ è il segmento dato da $y=3$ compresa tra [0,2] che parametrizzato mi da $gamma_2={x=t,y=3$ con $t=[0,2]$
svolgo prima il secondo che mi sembra piu facile ed ho $int_0^2 1/sqrt3 + 1dt = 1/sqrt3 [t]_0^2 + [t]_0^2=2/sqrt3+2$
il secondo ho $int_0^(pi) (1/sqrt(sentheta)+1) cdot (-sintheta + costheta) d theta=int_0^(pi) -(sintheta)/sqrt(sintheta) + costheta d theta$
e giusto?
Risposte
"lex153":
calcolare $int_gamma v cdot t ds $
con
$v(x,y)=(1/sqrty)i+j$
$gamma=gamma_1 cup gamma_2$ , $gamma_1= 2x-x^2+3, x in [0,2];gamma_2=$segmento conginungente gli estremi di $gamma_1$
svolgo:
il diagramma di $gamma_1$ è la semicirconferenza di raggio 1 e centro $1,3$ ricavata semplicemente sostituendo i valori di x compresi tra $[0,2]$
quinid la parametrizzo e mi viene $gamma_1={x=rhocostheta,y=rhosintheta$ con $rho=1,theta=[0,pi]$
mentre $gamma_2$ è il segmento dato da $y=3$ compresa tra [0,2] che parametrizzato mi da $gamma_2={x=t,y=3$ con $t=[0,2]$
svolgo prima il secondo che mi sembra piu facile ed ho $int_0^2 1/sqrt3 + 1dt = 1/sqrt3 [t]_0^2 + [t]_0^2=2/sqrt3+2$
il secondo ho $int_0^(pi) (1/sqrt(sentheta)+1) cdot (-sintheta + costheta) d theta=int_0^(pi) -(sintheta)/sqrt(sintheta) + costheta d theta$
e giusto?
E già parti malissimo: quella è una parabola!
bene! 
allora la parametrizzo con $gamma_1={x=t,y=2t-t^2+3$ con $t[0,2]$
$int_0^2 (1/sqrt(2t-t^2+3)+1)cdot(sqrt(1+2-2t)) dt$
bene?
edit: ho dimenticato di fare i quadrati nella norma!
$sqrt(1^2 + (2-2t)^2) = sqrt(1+4+4t^2-8t) = sqrt(4t?2-8t+5)$
allora la parametrizzo con $gamma_1={x=t,y=2t-t^2+3$ con $t[0,2]$
$int_0^2 (1/sqrt(2t-t^2+3)+1)cdot(sqrt(1+2-2t)) dt$
bene?
edit: ho dimenticato di fare i quadrati nella norma!
$sqrt(1^2 + (2-2t)^2) = sqrt(1+4+4t^2-8t) = sqrt(4t?2-8t+5)$
Allora, per prima cosa spiegami: cosa diavolo è $t$ nell'integrale di partenza? O è un refuso e l'integrale risulta semplicemente
$\int_\gamma v\cdot ds$?
$\int_\gamma v\cdot ds$?
edit: $t$ = orientamento di $gamma$ tale che, posto $p_0=(1,4)$ si abbia $t(p_0)cdot i >0$
ti dico come ragiono cosi mi dici se c'è una falla 
ho il campo vettoriale e la curva
parametrizzo la curva
sostituisco la $x$ e la $y$ parametrizzata nel campo vettoriale
mi calcolo la derivata delle componenti della curva parametrizzata e le moltiplico per il campo vettoriale
integro su $dt$ per i valori limite che ho imposto nella parametrizzazione
EDIT: grazie per la tua pazienza!
ho il campo vettoriale e la curva
parametrizzo la curva
sostituisco la $x$ e la $y$ parametrizzata nel campo vettoriale
mi calcolo la derivata delle componenti della curva parametrizzata e le moltiplico per il campo vettoriale
integro su $dt$ per i valori limite che ho imposto nella parametrizzazione
EDIT: grazie per la tua pazienza!
Aspetta, quindi $t$ è il versore tangente la curva? Allora manca qualcosa! Per prima cosa calcoliamo $t$ in generale: essendo
$\gamma_1(t)=(t,2t-t^2+3),\qquad t\in[0,2]$ e $\gamma_1=(2-t,3),\qquad t\in[0,2]$
in modo che la curva chiusa venga percorsa sempre nello stesso verso, si ha
$t_1={(1,2-2t)}/{||(1,2-2t)||}=1/\sqrt{1+(2-2t)^2}(1,2-2t),\qquad t_2=(-1,0)$
da cui $t_1(p_0)\cdot i>0$ mentre $t_2(p_0)\cdot i<0$. Pertanto, quando integri, la scelta corretta delle curve è la seguente
$\gamma_1(t)=(2t-t^2+3),\qquad t\in[0,2]$ e $\gamma_2(t)=(t,3),\qquad t\in[0,2]$
(la seconda curva la dobbiamo percorrere nel verso opposto).
Ora, dovrai calcolare due integrali che hanno la seguente forma
$\int_0^2 v(x_i(t),y_i(t))\cdot t_i\ \sqrt{(x_i')^2+(y_i')^2}\ dt,\qquad i=1,2$
essendo $\gamma_i(t)=(x_i(t), y_i(t))$ le parametrizzazioni scelte ed indicando con $\cdot$ il prodotto scalare tra $v$ e $t_i$.
$\gamma_1(t)=(t,2t-t^2+3),\qquad t\in[0,2]$ e $\gamma_1=(2-t,3),\qquad t\in[0,2]$
in modo che la curva chiusa venga percorsa sempre nello stesso verso, si ha
$t_1={(1,2-2t)}/{||(1,2-2t)||}=1/\sqrt{1+(2-2t)^2}(1,2-2t),\qquad t_2=(-1,0)$
da cui $t_1(p_0)\cdot i>0$ mentre $t_2(p_0)\cdot i<0$. Pertanto, quando integri, la scelta corretta delle curve è la seguente
$\gamma_1(t)=(2t-t^2+3),\qquad t\in[0,2]$ e $\gamma_2(t)=(t,3),\qquad t\in[0,2]$
(la seconda curva la dobbiamo percorrere nel verso opposto).
Ora, dovrai calcolare due integrali che hanno la seguente forma
$\int_0^2 v(x_i(t),y_i(t))\cdot t_i\ \sqrt{(x_i')^2+(y_i')^2}\ dt,\qquad i=1,2$
essendo $\gamma_i(t)=(x_i(t), y_i(t))$ le parametrizzazioni scelte ed indicando con $\cdot$ il prodotto scalare tra $v$ e $t_i$.
però non capisco nell'ultimo integrale cosa è quella $t_i$
Sono i vettori tangenti che ho scritto prima: e dai lex, ma un po' di attenzione!
scusami sono fuso! saltello tra analisi II e fisica ... mi prendo una pausa cosi nn ti faccio perdere tempo inutile, torno a mente fresca!
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