Esercizio su integrale, un aiuto sullo svolgimento

[jacobi1]

Grazie a chi mi aiuterà e buona Pasqua a tutti

Nello svolgere questo integrale ho dovuto suddividerlo in tanti integrali sommati diversi per sostituzione ecc. Secondo me non ho trovato la strada più rapida, vorrei chiedervi se riusciste (e ne sono certo ) a trovare un metodo risolutivo più rapido che mi sforzo da un po' di vedere, ma inutilmente.

$int_(π/ 4)^(-π/4) dθ ∫_1^(2/cosθ) ρ^3 cos^2θ + ρ^2sin θ dρ$

Il risultato è: $63/8−π/16$

[pilloeffe]

Ciao jacobi,

Buona Pasqua anche a te!
Un po' laborioso, ma non vedo particolari difficoltà... Farei così:

$int_{-\pi/4}^{pi/4} d\theta int_{1}^{2/cos\theta} (\rho^3 cos^2\theta + \rho^2 sin\theta) d\rho = int_{-\pi/4}^{pi/4} [\rho^4/4 cos^2\theta + \rho^3/3 sin\theta]_1^{2/cos\theta} d\theta = $
$ = int_{-\pi/4}^{pi/4} (4/cos^2\theta + 8/3 tan\theta \cdot 1/cos^2\theta - 1/4 cos^2\theta - 1/3 sin\theta) d\theta = $
$ = 4 int_{-\pi/4}^{pi/4} frac{d\theta}{cos^2\theta} + 8/3 int_{-\pi/4}^{pi/4} tan\theta \cdot 1/cos^2\theta d\theta - 1/4 int_{-\pi/4}^{pi/4} cos^2 \theta d\theta - 1/3 int_{-\pi/4}^{pi/4} sin\theta d\theta = $
$ = 4 [tan\theta]_{-\pi/4}^{pi/4} + 8/3 [frac{1}{2cos^2\theta}]_{-\pi/4}^{pi/4} - 1/8 [\theta + sin\theta cos\theta]_{-\pi/4}^{pi/4} + 1/3 [cos\theta]_{-\pi/4}^{pi/4} = $
$ = 8 + 8/3 \cdot 0 - frac{2 + \pi}{16} + 1/3 \cdot 0 = 126/16 - \pi/16 = 63/8 - \pi/16 $

[jacobi1]

Ti ringrazio, è incredibile come mi perda numeri a caso