Esercizio su integrale triplo
buongiorno a tutti,
ho fatto questo integrale ma poichè dal libro ho una soluzione diversa dalla mia vorrei sapere cosa ho sbagliato.
$int_B z dxdydz $
con $B= [(x,y,z):x^2+y^2<= z <=sqrt(2-x^2-y^2) ]$.
Ho utilizzato le coordinate cilindriche ottenedo $(\rho)^2 <= z<=sqrt(2- (\rho) ^2)$.
E ho posto anche $ sqrt(2- (\rho) ^2)>=0 $ ottenendo quindi $ 0<\rho
Sul libro però risulta $0<\rho<1$ !sicuramente non avrei dovuto porre $sqrt(2- (\rho) ^2)>=0$ ma non capisco il perchè e sopratutto da dove esce $\rho<1$
ho fatto questo integrale ma poichè dal libro ho una soluzione diversa dalla mia vorrei sapere cosa ho sbagliato.
$int_B z dxdydz $
con $B= [(x,y,z):x^2+y^2<= z <=sqrt(2-x^2-y^2) ]$.
Ho utilizzato le coordinate cilindriche ottenedo $(\rho)^2 <= z<=sqrt(2- (\rho) ^2)$.
E ho posto anche $ sqrt(2- (\rho) ^2)>=0 $ ottenendo quindi $ 0<\rho
Sul libro però risulta $0<\rho<1$ !sicuramente non avrei dovuto porre $sqrt(2- (\rho) ^2)>=0$ ma non capisco il perchè e sopratutto da dove esce $\rho<1$
Risposte
Quando scrivi $[rho^2<=z<=sqrt(2-rho^2)]$, devi anche sincerarti che $[rho^2<=sqrt(2-rho^2)]$, altrimenti quella disequazione non ha senso. Quindi:
$\{(2-rho^2>=0),(rho^2<=sqrt(2-rho^2)):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),(rho^4+rho^2-2<=0):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),((rho^2+2)(rho^2-1)<=0):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),(0<=rho<=1):} rarr [0<=rho<=1]$
In ogni modo, onde evitare discussioni di tipo algebrico, potresti ottenere lo stesso risultato con l'aiuto della rappresentazione grafica.
$\{(2-rho^2>=0),(rho^2<=sqrt(2-rho^2)):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),(rho^4+rho^2-2<=0):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),((rho^2+2)(rho^2-1)<=0):} rarr \{(0<=rho<=sqrt2),(0<=rho<=1):} rarr [0<=rho<=1]$
In ogni modo, onde evitare discussioni di tipo algebrico, potresti ottenere lo stesso risultato con l'aiuto della rappresentazione grafica.
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