Esercizio su Integrale Triplo

[Technician]

Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano nel risolvere questo integrale triplo, da come è messo giù sembra molto comodo risolverlo per fili, il problema è che una volta risolto quello più interno in dz, non riesco a mettere giù l'insieme dell'integrale doppio più esterno, poichè mi trovo comunque una regione di \( \Re ^2 \) dipendente da z

ecco il testo:

\( \iiint_{V}^{}z\, dx\, dy\, dz \)

con:

\( V= (x,y,z)\epsilon \Re ^3 : \begin{cases} 2-3 \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-2\sqrt{x^2+y^2}\\ x,y,z\geq 0 \end{cases} \)

[quantunquemente]

dovrebbe essere così:
prima di tutto,siccome deve essere $zgeq0$ ,deve essere $2-2sqrt(x^2+y^2)geq 0$,cioè $x^2+y^2 leq 1$
quindi tenendo conto del fatto che deve essere anche $x,y geq0$ ci siamo ristretti ai punti del primo quadrante contenuti nel cerchio $x^2+y^2 leq 1$
inoltre, $2-3sqrt(x^2+y^2) geq 0$ per $x^2+y^2 leq 4/9$
quindi,per i punti del primo quadrante tali che $x^2+y^2leq 4/9$ si ha $2-3sqrt(x^2+y^2)leqzleq 2-2sqrt(x^2+y^2)$
per i punti del primo quadrante tali che $4/9leqx^2+y^2leq1$ si ha $0leqzleq2-2sqrt(x^2+y^2)$