Esercizio su integrale triplo
Sul mio libro di testo c'è un esempio di integrale triplo risolto attraverso la sostituzione in coordinate cilindriche ellittiche. L'insieme A su cui integrare è il seguente:
$ A={(x,y,z)in -R^2 |x^2/4+y^2/9<= z^2+3, -1<= z<= 2} $
Mentre l'integrale è:
$ int int int_(A)(x^2+5z^2) dx dy dz $
Nel momento della sostituzione, l'integrale sopra diventa:
$ int int int_(E)(4rho ^2cos^2varphi +5t^2)6rho drho dt dvarphi $
dove $ E={(rho ,t,varphi )in R^+xx Rxx [0,2pi ]|rho ^2<= t^2+3,-1<=t<= 2} $
La mia domanda è, il determinante della jacobiana non è $ -6rho $ ? Perchè nell'integrale dopo la sostituzione manca un meno? Può essere un errore di stampa?
Grazie mille
$ A={(x,y,z)in -R^2 |x^2/4+y^2/9<= z^2+3, -1<= z<= 2} $
Mentre l'integrale è:
$ int int int_(A)(x^2+5z^2) dx dy dz $
Nel momento della sostituzione, l'integrale sopra diventa:
$ int int int_(E)(4rho ^2cos^2varphi +5t^2)6rho drho dt dvarphi $
dove $ E={(rho ,t,varphi )in R^+xx Rxx [0,2pi ]|rho ^2<= t^2+3,-1<=t<= 2} $
La mia domanda è, il determinante della jacobiana non è $ -6rho $ ? Perchè nell'integrale dopo la sostituzione manca un meno? Può essere un errore di stampa?
Grazie mille
Risposte
La prima trasformazione è $x=2u, y=3v$, il cui jacobiano è $6$, credo che ci sia poco da dire. Poi c'è il "solito" $\rho$ che salta fuori al passaggio in c.cilindriche.
Il segno meno da dove ti viene ?
Il segno meno da dove ti viene ?
Scusate, forse dovevo esplicitare i passaggi. La trasformazione è
$ x=2rhocosvarphi,y=3rhosinvarphi,z=t $
Facendo la jacobiana della funzione $ psi (rho,t,varphi)=(2rhocosvarphi,3rhosinvarphi,t) $ il suo determinante è $ -6rho $ ed è quello che andrebbe inserito nell integrale
$ x=2rhocosvarphi,y=3rhosinvarphi,z=t $
Facendo la jacobiana della funzione $ psi (rho,t,varphi)=(2rhocosvarphi,3rhosinvarphi,t) $ il suo determinante è $ -6rho $ ed è quello che andrebbe inserito nell integrale
La matrice è questa:
$\bbJ_(\bbf)=((2cos\phi,-2\rho\sin\phi),(3\sin\phi,3\rhocos\phi))$
il det è $6\rho$.
Avrai scambiato le righe... ?
$\bbJ_(\bbf)=((2cos\phi,-2\rho\sin\phi),(3\sin\phi,3\rhocos\phi))$
il det è $6\rho$.
Avrai scambiato le righe... ?
$ ( ( 2cosvarphi,0 , -2rhosinvarphi ),( 3sinvarphi, 0 , 3rhocosvarphi ),( 0,1,0 ) ) $
Questa dovrebbe essere la jacobiana
Questa dovrebbe essere la jacobiana
Hai fatto una terna sinistrosa invece che destrosa.
Perchè non la fai nel modo più semplice e solito
$x=2\rhocos\phi$
$y=3\rhosin\phi$
$z=z$
Perchè non la fai nel modo più semplice e solito
$x=2\rhocos\phi$
$y=3\rhosin\phi$
$z=z$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo