Esercizio su integrale doppio

[Clockwork90]

Buongiorno,sto esercitandomi a fare qualche esercizio di analisi sugli integrale doppi e su questo ho incontrato qualche difficoltà:

$\int int x/sqrt(x^2+y^2) il dominio su cui integrare è D=${(x,y) in RR^2: (x-1)^2+y^2>1 ;x^2+(y-1)^2<1}

vista la funzione ho pensato di passare in coordinate polari,tuttavia ho qualche problema a capire come trasformare il dominio,mi spiego,ho sciolto le due disequazioni e,sostituendo $\rho$ e $\theta$ ,ho risolto cercando di capire $\rho$ in quale intervallo debba ricadere in funzione di $\theta$.Alla fine mi sono ritrovato con $2cos\theta>\rho<2sin\theta$. Il mio problema è che non riesco a capire in quale intervallo deve ricadere $\theta$. Disegnando il mio insieme D avevo pensato che $\theta in (\pi/4;\pi)$ ,ma questa è solo un'osservazione grafica e non credo sia il modo rigoroso per procedere.Sto iniziando seriamente e pensare di aver svolto male le due disequazioni,ma non riesco a capire come esplicitare $\theta$

Chiedo scusa se ho scritto erroneamente qualche formula,ma è la prima volta che utilizzo questo sistema vi ringrazio anticipatamente

[enr87]

è meglio far riferimento alla figura.
secondo me centrare le coordinate polari nell'origine è una scelta buona, perchè così la radice della funzione integranda poi ti sparisce. il rovescio della medaglia è che il dominio è più difficile da determinare. mi pare che hai sbagliato la disequazione, infatti dovresti ottenere $2 cos theta < rho < 2 sin theta$. devi pure ricordarti che $rho$ è sempre maggiore di 0, e che $cos theta < sin theta$: questo ti permette di trovare le limitazioni corrette.
dall'ultima disequazione trovi che deve essere $theta in (pi/4, (5pi)/4)$, tuttavia noi ci restringiamo all'intervallo $(pi/4, pi/2)$, perchè per intervalli più grandi il coseno è negativo, e quindi il limite inferiore di $rho$ diventa 0. allora l'integrale si può rompere in due parti:

$int_(pi/4)^(pi/2) int_(2 cos theta)^(2 sin theta) f(rho, theta) + int_(pi/2)^(pi) int_0^(2 sin theta) f(rho, theta)$

[Clockwork90]

Si,hai ragione, sulla disequazione mi sono sbagliato $2cos\theta<\rho<2sin\theta$ ,da questa disequazione si ricava poi che $cos\theta \theta in (\pi/4;5/4\pi)$.Fino a qui tutto ok,ora capisco che se ci spingiamo oltre $\pi/2 , cos\theta$ diventa negativo e nella prima disequazione si avrebbe $\rho >$ di una quantità negativa,ma per come sono state definite le coordinate polari $\rho$ è sempre positivo,quindi, penso che quella disequazione debba essere cambiata per il resto dell'intervallo,ma non capisco come si possa arrivare a dire con certezza che per $\theta in (\pi/2;\pi) ; 0<\rho

[enr87]

scusa, il motivo è proprio quello che hai detto: $rho$ è positivo, quindi dovresti mettere a sistema:
$2 cos theta < rho < 2 sin theta
$rho > 0

prova e vedi che ti torna