Esercizio su integrale di una funzione complessa
Salve a tutti, sto cercando di risolvere il seguente esercizio: $f(z)= e^(1/z) * sinz$. La richiesta è di stabilire che tipo di singolarità è l'origine e di calcolare l'integrale di $f(z)$ esteso alla circonferenza $\Gamma$ di centro l'origine e raggio unitario.
Per la prima parte non ho avuto problemi a stabilire che l'origine è una singolarità essenziale.
La seconda richiesta invece mi ha dato difficoltà.
Mi è stato suggerito di semplificare le cose riscrivendo la funzione sviluppandone solamente l'esponenziale:
$f(z)=(1+1/z+1/(2!)*1/z^2+...) * sinz$
Dopo aver mostrato che questa serie converge uniformemente, ho potuto applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e scrivere:
$\int_{\Gamma}f(z) dz = \sum_{k=0}^infty 1/(k!) * \int_{\Gamma}sin(z)/z^k dz$
Il problema si riduce a calcolare il residuo in $z=0$ relativamente all'integrale di ciascuna funzione $sin(z)/z^k$: essenzo il punto $z=0$ un polo di ordine k per ciascuna di queste funzioni, il residuo per k=n è dato da:
$R_n(0) =( sin ^((n-1))(0)) / ((n-1)!)$ ,dove la funzione seno calcolata in $z=0$ viene derivata $n-1$ volte.
Risultato finale è, applicando il teorema dei residui:
$\int_{\Gamma}f(z) dz = \sum_{k=0}^infty 1/(k!) * 2\pi i *R_n(0) $
Mi era stato suggerito di sfruttare la formula integrale di Cauchy, ma io ne ho fatto a meno, ho sbagliato qualcosa?
Perchè non ho avuto bisogno di sfruttare il raggio della circonferenza $\Gamma$?
Grazie.
Per la prima parte non ho avuto problemi a stabilire che l'origine è una singolarità essenziale.
La seconda richiesta invece mi ha dato difficoltà.
Mi è stato suggerito di semplificare le cose riscrivendo la funzione sviluppandone solamente l'esponenziale:
$f(z)=(1+1/z+1/(2!)*1/z^2+...) * sinz$
Dopo aver mostrato che questa serie converge uniformemente, ho potuto applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e scrivere:
$\int_{\Gamma}f(z) dz = \sum_{k=0}^infty 1/(k!) * \int_{\Gamma}sin(z)/z^k dz$
Il problema si riduce a calcolare il residuo in $z=0$ relativamente all'integrale di ciascuna funzione $sin(z)/z^k$: essenzo il punto $z=0$ un polo di ordine k per ciascuna di queste funzioni, il residuo per k=n è dato da:
$R_n(0) =( sin ^((n-1))(0)) / ((n-1)!)$ ,dove la funzione seno calcolata in $z=0$ viene derivata $n-1$ volte.
Risultato finale è, applicando il teorema dei residui:
$\int_{\Gamma}f(z) dz = \sum_{k=0}^infty 1/(k!) * 2\pi i *R_n(0) $
Mi era stato suggerito di sfruttare la formula integrale di Cauchy, ma io ne ho fatto a meno, ho sbagliato qualcosa?
Perchè non ho avuto bisogno di sfruttare il raggio della circonferenza $\Gamma$?
Grazie.
Risposte
Nessuno mi sa aiutare?
Riporto su per l'ultima volta.
Il teorema di Cauchy è stato usato implicitamente nello scrivere il residuo della funzione $(sin(z))/(z^k)$ in $0$.
Ciao, ti ringrazio per la risposta ma ho ancora dei dubbi.
Riporto il teorema sulla formula integrale di Cauchy:
" Sia $(z)$ una funzione olomorfa in un campo A. Se D è un dominio regolare a uno o più contorni, contenuto in A e se $z_0$ è interno a D, si ha: $f(z_0)=1/(2pii) * \int f(z)/(z-z_0) * dz$ "
In ogni caso non mi ritrovo con il $2pii$ del teorema dei residui che si sarebbe dovuto semplificare con il $1/(2pii)$ della formula integrale di Cauchy. E non ho neanche capito quale sia il ruolo di $f(z)$ nella formula.
Riporto il teorema sulla formula integrale di Cauchy:
" Sia $(z)$ una funzione olomorfa in un campo A. Se D è un dominio regolare a uno o più contorni, contenuto in A e se $z_0$ è interno a D, si ha: $f(z_0)=1/(2pii) * \int f(z)/(z-z_0) * dz$ "
In ogni caso non mi ritrovo con il $2pii$ del teorema dei residui che si sarebbe dovuto semplificare con il $1/(2pii)$ della formula integrale di Cauchy. E non ho neanche capito quale sia il ruolo di $f(z)$ nella formula.
Niente?
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