Esercizio su integrale con funzioni trigonometriche
Buonasera a tutti,
Vorrei proporvi un integrale che mi sta dando tanto filo da torcere, sperando in un vostro aiuto!
Non so scrivere le formule in latex, quindi, dato che date la possibilità di uplodare foto, ne ho scattato una e ve la posto, spero non sia un problema!
Link formula:
La prima cosa che ho fatto è scrivere sin2x come 2sinxcosx, poi ho fatto la sostituzione ponendo sinx = t, dt = cosx dx, solo che non so più come andare avanti.
Grazie mille a chiunque sia disposto ad aiutarmi!
Vorrei proporvi un integrale che mi sta dando tanto filo da torcere, sperando in un vostro aiuto!
Non so scrivere le formule in latex, quindi, dato che date la possibilità di uplodare foto, ne ho scattato una e ve la posto, spero non sia un problema!
Link formula:
La prima cosa che ho fatto è scrivere sin2x come 2sinxcosx, poi ho fatto la sostituzione ponendo sinx = t, dt = cosx dx, solo che non so più come andare avanti.
Grazie mille a chiunque sia disposto ad aiutarmi!
Risposte
mica male come idea, giusto quello che hai fatto.. ma guarda cos'hai
$ \int (\sin x -2)/(\sin^2x-1)2 \sinx\cos x dx $
il denominatore $ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\to sin^2(x)=1-\cos^2(x) $
ora sostituiscilo e ti diventa
$ \int (\sin x -2)/(-\cos^2x)2 \sinx\cos x dx $
ora con la tua giusta sostituzione $ \sin x =t \to (\cos x)dx=dt \to dx=(dt)/(\cos x) $
hai che $ \int (t-2)/(-t^2)2 t cos x (dt)/(\cos x)= -2\int (t-2)/(t)dt=-2\int 1-2/tdt=.... $
$ \int (\sin x -2)/(\sin^2x-1)2 \sinx\cos x dx $
il denominatore $ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\to sin^2(x)=1-\cos^2(x) $
ora sostituiscilo e ti diventa
$ \int (\sin x -2)/(-\cos^2x)2 \sinx\cos x dx $
ora con la tua giusta sostituzione $ \sin x =t \to (\cos x)dx=dt \to dx=(dt)/(\cos x) $
hai che $ \int (t-2)/(-t^2)2 t cos x (dt)/(\cos x)= -2\int (t-2)/(t)dt=-2\int 1-2/tdt=.... $
Grazie mille per la risposta. Ho notato una cosa: dopo aver scritto giustamente che sen^2x - 1 = -cos^2x e dopo aver posto senx = t, nella sostituzione, al denominatore, dove si trova -cos^2x, hai scritto che è uguale a -t^2. E' possibile fare questa mossa? Non avevamo detto che t = senx? E' come se stessimo dicendo che anche cosx = t. Sicuramente mi sarà sfuggito qualcosa, ti ringrazio anticipatamente qualora volessi spiegarmi!
"mastervin":
Grazie mille per la risposta. Ho notato una cosa: dopo aver scritto giustamente che sen^2x - 1 = -cos^2x e dopo aver posto senx = t, nella sostituzione, al denominatore, dove si trova -cos^2x, hai scritto che è uguale a -t^2. E' possibile fare questa mossa $ 2\int (t-2)/(t^2-1)dt $ Non avevamo detto che t = senx $ (t-2)/((t-1)(t+1))=(a)/(t-1)+(b)/(t+1) $ E' come se stessimo dicendo che anche cosx = t. Sicuramente mi sarà sfuggito qualcosa, ti ringrazio anticipatamente qualora volessi spiegarmi!
hai perfettamente ragione! Scusami per la svista!..
allora il denominatore lo si lascia così com'è
e ti diventa, sempre con la sostituzione $\sin x =t$ e $dx=dt/\cos x$
$ 2\int (t-2)/(t^2-1)dt $
e il mio consiglio è.. ora usa la scomposizione in fratti semplici
$ (t-2)/(t^2-1)= (t-2)/((t-1)(t+1)) $
quindi $ (t-2)/((t-1)(t+1))=(a)/(t-1)+(b)/(t+1) $
con $a$ e $b$ da determinare.. così avrai i tuoi coefficienti e poi potrai integrale..
chiedo scusa comunque per prima..l'ho fatto un po' di fretta..
Usando la tua indicazione, ho calcolato a=-1/2 e b=3/2. Alla fine il risultato viene -log|senx-1|+3/2log|senx+1|+c. Secondo te è corretto? No perchè è scritto in una maniera particolare e non è facile inserirlo negli strumenti di calcolo online per verificare il risultato. Grazie mille!
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