Esercizio su funzioni derivabili

[BeNdErR]

Salve a tutti,

ho i seguenti due esercizi da risolvere:

1) sia $f: RR -> RR$ una funzione derivabile che si annulla SOLO in $x=0$, $x=1$ e $x=2$. Allora
a)$f(x)$ cambia segno tre volte
b)$f'(x)$ si annulla almeno due volte
c)$f(x)$ è un polinomio di terzo grado
d)$f'(x)$ su annulla esattamente due volte

2) $f:RR->RR$ è una funzione derivabile che si annulla in soli 3 punti dell'intervallo $[0,1]$. Quale affermazione è sempre vera?
a)$f'(x)$ si annulla in almeno 2 punti di $[0,1]$
b)$f$ cambia segno nell'intervallo $[0,1]$
c)$f$ è un polinomio di terzo grado
d)$f'(x)$ si annulla in 2 soli punti di $[0,1]$

per entrambi non riesco a capire da che parte iniziare, potreste darmi qualche suggerimento? fino ad ora l'unica soluzione a cui sono arrivato è che, avendo 3 punti in cui si azzerano, la funzione ha 3 zeri quindi il grafico interseca l'asse delle x 3 volte (banalissimo direte voi!)..

Grazie in anticipo, saluti!

[Seneca1]

Direi che puoi arrivarci anche per esclusione, se non ti è evidente...

Comunque... $f$ è tale che $f(0) = f(1) = f(2) = 0$ . Ti viene in mente qualche teorema sulle funzioni derivabili in un intervallo che potrebbe darti qualche informazione su com'è fatta la $f$, le cui ipotesi sono soddisfatte?

[BeNdErR]

dunque, Fermat, Lagrange e Rolle non mi aiutano troppo (almeno credo) in questo caso.. Provando a ragionare per esclusione come dici tu, ragionerei così:

esercizio 1:
a) NO in quanto potrebbe cambiare segno più volte (anche sopra o sotto l'asse delle x)
b) potrebbe essere una soluzione
c) potrebbe essere una soluzione
d) NO in quanto non è detto (come per la risposta a potrebbe cambiare segno più volte e quindi la derivata avrebbe valore 0 più volte)

per l'esercizio due il ragionamento sarebbe simile.. sono completamente fuori strada? come risolvo il dubbio tra la risposta b e la risposta c?

grazie mille!