Esercizio su funzioni a variazione limitata
Ciao a tutti... Avrei da proporvi un esercizio ... spero che qualcuno possa aiutarmi.
Il testo è il seguente: data una funzione f: [0,2] in R definita da f(x)= 1 / (|x-1|) per x diverso da 1 e f(1)=1.
devo verificare se f è a variazione limitata, se f è derivabile in [0,2] e trovare i compatti contenuti in [0,2] in cui la funzione è assolutamente continua.
La funzione dovrebbe essere non limitata... quindi nn è a variazione limitata in [0,2] ma se prendo gli intervalli del tipo [0,1-epsilon] e [1+epsilon,2] con epsilon>0 la funzione è monotona e quindi a variazione limitata in questi sottointervalli... Per le altre due domande, mi verrebbe da dire che la funzione è derivabile in [0,2] escluso nel punto 1...ma come lo provo??? e poi i sottointervalli che ho provato sono anche quelli in cui la funzione è assolutamente continua???
Grazie mille in anticipo a chi mi risponde...a presto!!
Il testo è il seguente: data una funzione f: [0,2] in R definita da f(x)= 1 / (|x-1|) per x diverso da 1 e f(1)=1.
devo verificare se f è a variazione limitata, se f è derivabile in [0,2] e trovare i compatti contenuti in [0,2] in cui la funzione è assolutamente continua.
La funzione dovrebbe essere non limitata... quindi nn è a variazione limitata in [0,2] ma se prendo gli intervalli del tipo [0,1-epsilon] e [1+epsilon,2] con epsilon>0 la funzione è monotona e quindi a variazione limitata in questi sottointervalli... Per le altre due domande, mi verrebbe da dire che la funzione è derivabile in [0,2] escluso nel punto 1...ma come lo provo??? e poi i sottointervalli che ho provato sono anche quelli in cui la funzione è assolutamente continua???
Grazie mille in anticipo a chi mi risponde...a presto!!
Risposte
Leggi il regolamento del forum e impara ad esprimere le formule matematiche attraverso i codici.
grazie per la segnalazione, non sapevo che funzionasse il tex...
"scricciolo83":
data una funzione $f: [0,2] -> RR$ definita da $f(x):= 1 / (|x-1|)$ per $x$ diverso da $1$ e $f(1):=1$.
devo verificare se $f$ è a variazione limitata, se $f$ è derivabile in $[0,2]$ e trovare i compatti contenuti in $[0,2]$ in cui la funzione è assolutamente continua.
La funzione dovrebbe essere non limitata... quindi nn è a variazione limitata in $[0,2]$
Perchè usare il condizionale?
La [tex]$f$[/tex] è non limitata in [tex]$[0,2]$[/tex] (infatti [tex]$\lim_{x\to 1} f(x)=+\infty$[/tex], quindi anche [tex]$\sup_{[0,2]} f =+\infty$[/tex]) e perciò non è una funzione di [tex]$BV([0,2])$[/tex].
"scricciolo83":
ma se prendo gli intervalli del tipo $[0,1-epsilon]$ e $[1+epsilon,2]$ con $epsilon>0$ la funzione è monotona e quindi a variazione limitata in questi sottointervalli...
Giusto!
E qui hai usato l'indicativo proprio come si conviene.
"scricciolo83":
Per le altre due domande, mi verrebbe da dire che la funzione è derivabile in [0,2] escluso nel punto 1...ma come lo provo???
Come "come lo provo"?
O fai i conti oppure applichi risultati noti.
Infatti o fai vedere che [tex]$\lim_{h\to 0} \tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$[/tex] esiste finito per [tex]$x\neq 1$[/tex] (la [tex]$f$[/tex] non è continua in [tex]$1$[/tex], quindi non può essere nemmeno derivabile), oppure tieni in mente che:
[tex]$f(x):=\begin{cases} \frac{1}{1-x} &\text{, se $0\leq x<1$} \\ 1 &\text{,se $x=1$} \\ \frac{1}{x-1} &\text{, se $1
e che da Analisi I sai che funzioni del tipo [tex]$\tfrac{1}{1-x},\ \tfrac{1}{x-1}$[/tex] sono derivabili per [tex]$x\neq 1$[/tex].
Quindi...
"scricciolo83":
e poi i sottointervalli che ho provato sono anche quelli in cui la funzione è assolutamente continua???
Come sono fatte le funzioni [tex]$AC([0,2])$[/tex]?
C'è una definizione che te lo dice, quindi devi cercare di vedere se [tex]$f$[/tex] soddisfa i requisiti richiesti da tale definizione.
P.S.: Come segnalato nel link di Lorin, basta aggiungere una coppia di \$ ai lati di una formula per far partire il compilatore MathML e far apparire nel post una bella formula; ad esempio:
\$ lim_(x->x_0) phi (x-x_0) =(e^(1/3) -x_0)/pi \$ produce $ lim_(x->x_0) phi (x-x_0) =(e^(1/3) -x_0)/pi $.
Se poi sai usare TeX, puoi farlo aggiungendo i tag [ tex ] e [ /tex ] (ma senza spazi) all'inizio e fine di una formula; ad esempio:
[ tex ]\$ \lim_{x\to x_0} \phi (x-x_0) = \frac{e^\frac{1}{3} -x_0}{\pi} \$[ /tex ] produce [tex]$ \lim_{x\to x_0} \phi (x-x_0) = \frac{e^\frac{1}{3} -x_0}{\pi} $[/tex].
grazie gugo...a me l'analisi nn mi piace molto e quindi sono sempre molto insicuro con questa materia...
Ne approfitto per chiederti un'altra cosa. avevo un altro esercizio: sia $f: RR_+ -> RR_+$ definita da $\log(x+a)$ con $a>0$. Voglio sapere per quali valori di $a$, la funzione $f$ risulta Assolutamente Continua.
Le funzioni assolutamente continue sono definite in intervalli chiusi, almeno così me l'hanno presentate... esiste una generalizzazione di queste funzioni?? nel senso che posso definirle anche in intervalli aperti (il dominio di questa funzione $f$ è del tipo: $[a,+\infty[$)??? oppure in questo esercizio è implicito il fatto che devo trovare degli intervalli chiusi al variare di $a$???
Grazie ancora... e grazie per le informazioni sul tex... ciao ciao!
Ne approfitto per chiederti un'altra cosa. avevo un altro esercizio: sia $f: RR_+ -> RR_+$ definita da $\log(x+a)$ con $a>0$. Voglio sapere per quali valori di $a$, la funzione $f$ risulta Assolutamente Continua.
Le funzioni assolutamente continue sono definite in intervalli chiusi, almeno così me l'hanno presentate... esiste una generalizzazione di queste funzioni?? nel senso che posso definirle anche in intervalli aperti (il dominio di questa funzione $f$ è del tipo: $[a,+\infty[$)??? oppure in questo esercizio è implicito il fatto che devo trovare degli intervalli chiusi al variare di $a$???
Grazie ancora... e grazie per le informazioni sul tex... ciao ciao!
Dipende dalla definizione che hai... Credo, se studi da un testo classico, che la definizione ti sia stata presentata come segue:
[tex]$u\in AC([a,b]) \ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall D:=\{ a=x_0
Come vedi il fatto che l'intervallo sia chiuso c'entra nella definizione solo perchè tra i punti della partizione [tex]$D$[/tex] devi inserire anche gli estremi [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex]; tuttavia di ciò se ne può fare abbondantemente a meno: infatti nel caso di un intervallo generico [tex]$I$[/tex] l'appartenenza ad [tex]$AC(I)$[/tex] è definita come segue:
[tex]$u\in AC(I) \ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall D:=\{ x_0
in cui non ti restringi a considerare solo quelle partizioni che contengono gli estremi.
Se vuoi puoi verificare da te che nel caso [tex]$I=[a,b]$[/tex] le due definizioni si equivalgono.
Fondamentale è il seguente teorema di caratterizzazione:
Prova a verificare se la tua [tex]$f$[/tex] verifica le tre proprietà di cui sopra per qualche valore di [tex]$a$[/tex].
[tex]$u\in AC([a,b]) \ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall D:=\{ a=x_0
Come vedi il fatto che l'intervallo sia chiuso c'entra nella definizione solo perchè tra i punti della partizione [tex]$D$[/tex] devi inserire anche gli estremi [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex]; tuttavia di ciò se ne può fare abbondantemente a meno: infatti nel caso di un intervallo generico [tex]$I$[/tex] l'appartenenza ad [tex]$AC(I)$[/tex] è definita come segue:
[tex]$u\in AC(I) \ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall D:=\{ x_0
in cui non ti restringi a considerare solo quelle partizioni che contengono gli estremi.
Se vuoi puoi verificare da te che nel caso [tex]$I=[a,b]$[/tex] le due definizioni si equivalgono.
Fondamentale è il seguente teorema di caratterizzazione:
[tex]$u:I\to \mathbb{R}$[/tex] è in [tex]$AC(I)$[/tex] se e solo se:
i) [tex]$u$[/tex] è continua;
ii) [tex]$u$[/tex] è derivabile q.o. (rispetto alla misura di Lebesgue), la derivata [tex]$u^\prime$[/tex] (che esiste q.o.) è in [tex]$L_{loc}^1(I)$[/tex] e tale che:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall F \subseteq I \text{ misurabile con } m(F)<\delta ,\ \int_F |u^\prime| \text{d} x <\varepsilon$[/tex];
iii) [tex]$u$[/tex] porta insiemi di misura nulla di [tex]$I$[/tex] in insiemi di misura nulla di [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Prova a verificare se la tua [tex]$f$[/tex] verifica le tre proprietà di cui sopra per qualche valore di [tex]$a$[/tex].
ok, grazie... io questo teorema sulle funzioni assolutamente continue non lo conosco...ne conosco uno che dice quando segue:
[tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. $f \in AC([a,b])$;
2. $\exists f' \text{q.o.}\ \ \ f' \in L^1([a,b],m)\ \ e \ \ f(x)=\int_a^x f' +f(a)$;
3. $\exists f' \text{q.o.}\ \ \ f' \in L^1([a,b],m)\ \ e \ \ \int_a^x |f'| = v(x)$;
4. $v(x) \in AC([a,b])$;
con $v(x)=V_a^x(f)$ variazione di f in [a,x] e $v(a)=0$.[/tex]
Comunque riguarda all'esercizio sul [tex]$\log (x+a)$[/tex], io ho fatto la derivata della funzione, cioè [tex]$f'(x)=\frac{1}{x+a}$[/tex], mi calcolo l'integrale [tex]$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x+a} \text{d}x$[/tex], il risultato dovrebbe essere [tex]$+\infty$[/tex] per qualsiasi valore di $a$... quindi non esistono valori di a per i quali la funzione sia assolutamente continua...
Ma non so perchè tutto mi sembra troppo semplice e credo che stia sbagliando qualcosa...
[tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1. $f \in AC([a,b])$;
2. $\exists f' \text{q.o.}\ \ \ f' \in L^1([a,b],m)\ \ e \ \ f(x)=\int_a^x f' +f(a)$;
3. $\exists f' \text{q.o.}\ \ \ f' \in L^1([a,b],m)\ \ e \ \ \int_a^x |f'| = v(x)$;
4. $v(x) \in AC([a,b])$;
con $v(x)=V_a^x(f)$ variazione di f in [a,x] e $v(a)=0$.[/tex]
Comunque riguarda all'esercizio sul [tex]$\log (x+a)$[/tex], io ho fatto la derivata della funzione, cioè [tex]$f'(x)=\frac{1}{x+a}$[/tex], mi calcolo l'integrale [tex]$\int_a^{+\infty} \frac{1}{x+a} \text{d}x$[/tex], il risultato dovrebbe essere [tex]$+\infty$[/tex] per qualsiasi valore di $a$... quindi non esistono valori di a per i quali la funzione sia assolutamente continua...
Ma non so perchè tutto mi sembra troppo semplice e credo che stia sbagliando qualcosa...
Nel caso di intervalli non limitati si ha [tex]$L^1(I)\subset L_{loc}^1(I)$[/tex] (con la relazione stretta, perchè ci sono alcune funzioni che sono sommabili sui compatti di [tex]$I$[/tex] ma che non lo sono su tutto [tex]$I$[/tex]: ad esempio [tex]$\tfrac{1}{x+a}$[/tex] in [tex]$I=[0,+\infty[$[/tex] ).
Quindi in questo caso, visto che sei in presenza di un intervallo non compatto, nella tua [tex]2.[/tex] devi sostituire [tex]$L_{loc}^1$[/tex] a [tex]$L^1$[/tex].
Dico questo perchè mi sembrerebbe oltremodo strano che una funzione [tex]$C^\infty$[/tex] per la quale vale il teorema fondamentale del calcolo integrale (quale [tex]$\ln (x+a)$[/tex] è in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]) non risultasse pure [tex]$AC$[/tex].
***
Inoltre è facile verificare che sono soddisfatte tutte le proprietà richieste dal teorema di caratterizzazione che ti ho enunciato.
Infatti, per [tex]$a>0$[/tex], [tex]$f(x):=\ln (x+a)$[/tex] è continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], quindi vale i).
La [tex]$f$[/tex] è derivabile ovunque in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e la derivata [tex]$f^\prime (x):=\tfrac{1}{x+a}$[/tex] è positiva e limitata dall'alto da [tex]$\tfrac{1}{a}$[/tex], quindi:
[tex]$\int_F |f^\prime (x)|\ \text{d} x \leq \frac{1}{a}\ m(F)$[/tex];
ne consegue che basta prendere [tex]$\delta =\tfrac{a}{2}\ \varepsilon$[/tex] per ottenere la ii).
Infine se [tex]$N$[/tex] ha misura nulla, esso può essere racchiuso nell'unione di una successione di intervallini [tex]$[a_k,b_k]$[/tex] tali che [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }b_k-a_k < \rho[/tex] ([tex]$\rho >0$[/tex] fissato arbitrariamente piccolo); visto che [tex]$|f^\prime (x)|\leq \tfrac{1}{a}$[/tex], la [tex]$f(x)$[/tex] è lipschitziana con costante [tex]$\tfrac{1}{a}$[/tex], sicché:
[tex]$|f(b_k)-f(a_k)|\leq \frac{1}{a} (b_k-a_k)$[/tex];
inoltre [tex]$f(x)$[/tex] è crescente e continua, cosicché [tex]$f([a_k,b_k])=[f(a_k),f(b_k)]$[/tex] e [tex]$|f(b_k)-f(a_k)| =f(b_k)-f(a_k)$[/tex]; ne viene che [tex]$f(N)\subseteq \bigcup_{k=0}^{+\infty} [f(a_k),f(b_k)]$[/tex] e si ha:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} f(b_k)-f(a_k) \leq \frac{1}{a} \sum_{k=0}^{+\infty} b_k-a_k \leq \frac{1}{a}\ \rho$[/tex],
quindi se si vuole racchiudere [tex]$f(N)$[/tex] nell'unione di una successione d'intervalli con misura [tex]$<\varepsilon$[/tex] basta scegliere [tex]$\rho =\tfrac{a}{2}\ \varepsilon$[/tex].
Ne consegue che [tex]$f(N)$[/tex] ha misura nulla se [tex]$N$[/tex] ha misura nulla e perciò vale anche la iii).
).Quindi in questo caso, visto che sei in presenza di un intervallo non compatto, nella tua [tex]2.[/tex] devi sostituire [tex]$L_{loc}^1$[/tex] a [tex]$L^1$[/tex].
Dico questo perchè mi sembrerebbe oltremodo strano che una funzione [tex]$C^\infty$[/tex] per la quale vale il teorema fondamentale del calcolo integrale (quale [tex]$\ln (x+a)$[/tex] è in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]) non risultasse pure [tex]$AC$[/tex].
***
Inoltre è facile verificare che sono soddisfatte tutte le proprietà richieste dal teorema di caratterizzazione che ti ho enunciato.
Infatti, per [tex]$a>0$[/tex], [tex]$f(x):=\ln (x+a)$[/tex] è continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], quindi vale i).
La [tex]$f$[/tex] è derivabile ovunque in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e la derivata [tex]$f^\prime (x):=\tfrac{1}{x+a}$[/tex] è positiva e limitata dall'alto da [tex]$\tfrac{1}{a}$[/tex], quindi:
[tex]$\int_F |f^\prime (x)|\ \text{d} x \leq \frac{1}{a}\ m(F)$[/tex];
ne consegue che basta prendere [tex]$\delta =\tfrac{a}{2}\ \varepsilon$[/tex] per ottenere la ii).
Infine se [tex]$N$[/tex] ha misura nulla, esso può essere racchiuso nell'unione di una successione di intervallini [tex]$[a_k,b_k]$[/tex] tali che [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }b_k-a_k < \rho[/tex] ([tex]$\rho >0$[/tex] fissato arbitrariamente piccolo); visto che [tex]$|f^\prime (x)|\leq \tfrac{1}{a}$[/tex], la [tex]$f(x)$[/tex] è lipschitziana con costante [tex]$\tfrac{1}{a}$[/tex], sicché:
[tex]$|f(b_k)-f(a_k)|\leq \frac{1}{a} (b_k-a_k)$[/tex];
inoltre [tex]$f(x)$[/tex] è crescente e continua, cosicché [tex]$f([a_k,b_k])=[f(a_k),f(b_k)]$[/tex] e [tex]$|f(b_k)-f(a_k)| =f(b_k)-f(a_k)$[/tex]; ne viene che [tex]$f(N)\subseteq \bigcup_{k=0}^{+\infty} [f(a_k),f(b_k)]$[/tex] e si ha:
[tex]$\sum_{k=0}^{+\infty} f(b_k)-f(a_k) \leq \frac{1}{a} \sum_{k=0}^{+\infty} b_k-a_k \leq \frac{1}{a}\ \rho$[/tex],
quindi se si vuole racchiudere [tex]$f(N)$[/tex] nell'unione di una successione d'intervalli con misura [tex]$<\varepsilon$[/tex] basta scegliere [tex]$\rho =\tfrac{a}{2}\ \varepsilon$[/tex].
Ne consegue che [tex]$f(N)$[/tex] ha misura nulla se [tex]$N$[/tex] ha misura nulla e perciò vale anche la iii).
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