Esercizio su funzione inversa
Salve ragazzi vorrei risolvere i miei dubbi su alcuni esercizi:
1) la funzione $ f(x)=cos(1/x) $ è invertibile se x appartiene all'intervallo di estremi uno e +infinito (chiuso a destra) e non lo è nell'intervallo di estremi 0 e 1 aperto a sinistra, chiuso a destra
Ho risposto che non è invertibile nel secondo intervallo perché non è monotona nell'intervallo. Infatti non esiste $ lim_(x -> o^+) f(x) $ .
E' corretto?
2) Il secondo esercizio non è altro che un prolungamento del primo e chiede di determinare l'insieme di definizione della funzione inversa.
$ f(x)=cos(1/x) $ quindi la funzione inversa dovrebbe essere $ f^-1(y)=1/(arcocosen(y)) $
Devo imporre semplicemente il denominatore diverso dal valore nullo o devo considerare anche che $ |y|<= 1 $ ?
Per favore rispondete con argomentazioni semplici perché sono alle prime armi
1) la funzione $ f(x)=cos(1/x) $ è invertibile se x appartiene all'intervallo di estremi uno e +infinito (chiuso a destra) e non lo è nell'intervallo di estremi 0 e 1 aperto a sinistra, chiuso a destra
Ho risposto che non è invertibile nel secondo intervallo perché non è monotona nell'intervallo. Infatti non esiste $ lim_(x -> o^+) f(x) $ .
E' corretto?
2) Il secondo esercizio non è altro che un prolungamento del primo e chiede di determinare l'insieme di definizione della funzione inversa.
$ f(x)=cos(1/x) $ quindi la funzione inversa dovrebbe essere $ f^-1(y)=1/(arcocosen(y)) $
Devo imporre semplicemente il denominatore diverso dal valore nullo o devo considerare anche che $ |y|<= 1 $ ?
Per favore rispondete con argomentazioni semplici perché sono alle prime armi
Risposte
Ciao Nicocata
No un attimo: la funzione è invertibile anche un pochino prima del punto $x_0=1$ - cosa intendi con "chiuso a destra"? Un intervallo tipo $(n,+oo]$ non ha senso.
Ok, ma come ho detto controlla dove finisce questo intervallo.
Questa non penso sia una motivazione valida: anche $lim_(x->0) 1/x$ non esiste, eppure $g(x)=1/x$ è invertibile in tutto il suo dominio.
Attento: la funzione inversa è $f^-1(x) = 1/(f(x))=1/(cos(1/x))$
"Nicocata":
1) la funzione $ f(x)=cos(1/x) $ è invertibile se x appartiene all'intervallo di estremi uno e +infinito (chiuso a destra)
No un attimo: la funzione è invertibile anche un pochino prima del punto $x_0=1$ - cosa intendi con "chiuso a destra"? Un intervallo tipo $(n,+oo]$ non ha senso.
"Nicocata":
Ho risposto che non è invertibile nel secondo intervallo perché non è monotona nell'intervallo.
Ok, ma come ho detto controlla dove finisce questo intervallo.
"Nicocata":
Infatti non esiste $ lim_(x -> o^+) f(x) $ .
Questa non penso sia una motivazione valida: anche $lim_(x->0) 1/x$ non esiste, eppure $g(x)=1/x$ è invertibile in tutto il suo dominio.
"Nicocata":
2) Il secondo esercizio [...] chiede di determinare l'insieme di definizione della funzione inversa.
$ f(x)=cos(1/x) $ quindi la funzione inversa dovrebbe essere $ f^-1(y)=1/(arcocosen(y)) $
Attento: la funzione inversa è $f^-1(x) = 1/(f(x))=1/(cos(1/x))$
Per quanto riguarda il primo esercizio ho sbagliato, intendevo chiuso a sinistra, è stato un errore di distrazione...
Per quanto riguarda il secondo non capisco, questo é il reciproco, non la funzione inversa a mio avviso
Per quanto riguarda il secondo non capisco, questo é il reciproco, non la funzione inversa a mio avviso
"Nicocata":
Per quanto riguarda il secondo non capisco, questo é il reciproco, non la funzione inversa a mio avviso
D'oh! Hai ragione, mi sono confuso, scusa
Quindi la funzione inversa che ho scritto è corretta?
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