Esercizio su funzione integrale

[nicolae1]

ciao ragazzi, mi aiutate con un esercizio?
$F(x)=int_e^x (logt)^(1/2) dt$

l'integranda è verificata per $t>0$
provo a verificare $int_e^(+oo) f(t) dt$ e $-int_(0)^e f(t) dt$

sul limite $xrarr+oo$ credo di non avere problemi (correggetemi se sbaglio):
$lim_(x -> +oo) int_e^x (logt)^(1/2) dt = +oo$ in quanto la funzione integranda va a $+oo$ per $trarr+oo$

il problema è quando provo a cacolare :
$-lim_(x->0^+)int_(x)^e (logt)^(1/2)dt$
come posso fare per capire se è finito o infinito?

[Brancaleone1]

"nicolae":

l'integranda è verificata per $t>0$

Siamo sicuri?

[nicolae1]

hai ragione!!
è verificata per $t>=1$

grazie mille !!

[nicolae1]

giusto per avere conferma se quello che ho fatto è giusto.
sono andato avanti con l'esercizio:
ho cercato un $alpha : (x-1)^alpha*(logx)^(1/2)rarrC { ( !=0 ),( !=+oo ):}$ per $xrarr1^+$

$(logx)^(1/2)/(x-1)^(-alpha)=logx/(x-1)^(-2alpha)$
impongo $alpha<0$ per utilizzare de l'Hopital:

$=^H 1/x/(-2alpha(x-1)^(-2alpha-1)) ->C{ ( !=0 ),( !=+oo ):} hArr alpha=(-1/2)$

quindi: $(logx)^(1/2) ~C/(x-1)^(-1/2)$ integrabile a$1^+$ in qunato $alpha<1$

poi, per tracciare il grafico, ho calcolato F'(x) e F''(x):
$F'(x)= (logx)^(1/2) >0 AA x in Dom(F(x))$
$F''(x)=1/(2 x sqrt(log(x))) >0 AAx in Dom(F(x))$

il grafico mi esce approssimativamente come il grafico di $x^2$, traslato "in su" sull'asse y (non riesco a disegnarlo qua sul forum ), con $lim_(x->(1^+)) F(x)=C>0$ mentre$lim_(x->(+oo)) F(x)=+oo$, strettamente crescente e con concavità rivolta verso l'alto.

è corretto?