Esercizio su funzione a due variabili

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno ho il seguente esercizio:
"Sia g(x, y) una funzione continua su $RR^2$. Data la forma differenziale
$ω(x, y) = (2x)/(y(x^2+y^2)^(2/3))dx +((g(x,y))/(y^2(x^2+y^2)^(2/3)) + cos(y)) dy$
trovare l’ insieme di definizione D, una funzione g tale che la forma sia esatta in (ogni componente connessa di) D, e una primitiva per la forma ottenuta."
Per il Dominio non ho problemi infatti risulta essere $D=RR^2-{(0,0)}$
Per trovare la funzione g ho pensato di procedere trovando una funzione che mi renda $ω(x, y)$ chiusa in modo che poi questa sara' esatta in ogni sua componente connessa, il problema e' che, calcolando le derivate miste e ponendole uguale mi viene una cosa abbastanza lunga e complessa, c'e' per caso un altro modo per svolgere questo esercizio?

[mauri54]

"ludovica_97":Buongiorno ho il seguente esercizio:
"Sia g(x, y) una funzione continua su $RR^2$. Data la forma differenziale
$ω(x, y) = (2x)/(y(x^2+y^2)^(2/3))dx +((g(x,y))/(y^2(x^2+y^2)^(2/3)) + cos(y)) dy$
trovare l’ insieme di definizione D, una funzione g tale che la forma sia esatta in (ogni componente connessa di) D, e una primitiva per la forma ottenuta."
Per il Dominio non ho problemi infatti risulta essere $D=RR^2-{(0,0)}$
Per trovare la funzione g ho pensato di procedere trovando una funzione che mi renda $ω(x, y)$ chiusa in modo che poi questa sara' esatta in ogni sua componente connessa, il problema e' che, calcolando le derivate miste e ponendole uguale mi viene una cosa abbastanza lunga e complessa, c'e' per caso un altro modo per svolgere questo esercizio

Ciao Ludovica,
Per quanto riguarda il dominio dovresti escludere anche tutto l'asse x: \( dom(F)=\mathbb{R^2}\setminus\{y=0\} \)
Poi per quanto riguarda lo svolgimento, inizialmente lo avrei fatto come te. Per vedere quali $g$ rendono chiusa questa forma differenziale si arriva ad un punto in cui ci sarebbe da risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine nella variabile x. Concettualmente è semplice ma ci sono tanti conti.
Anche a te viene così?

Secondo me potresti tranquillamente fregartene di vedere se è chiusa. E' una condizione necessaria ma per dire se è esatta basta trovare un potenziale della forma differenziale.
Quindi ti consiglio di integrare in x direttamente la prima componente, derivare rispetto a y quello che hai ricavato e uguagliarlo alla seconda componente della forma differenziale, ossia
\( u(x,y)=\displaystyle\int\frac{1}{y}2x(x^2+y^2)^{-\frac{2}{3}}dx=\displaystyle\frac{1}{y}\int2x(x^2+y^2)^{-\frac{2}{3}}dx=\frac{3}{y}\sqrt{x^2+y^2}+c(y) \)

derivando rispetto a y: \( \frac{\partial^{}u(x,y)}{\partial y}= \frac{-3x^2-y^2}{y^2\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}}+c'(y) \)

Se ti basta trovare solo UNA funzione $g$ che renda il tuo campo conservativo allora è sufficiente prendere $g(x,y)=-3x^2-y^2$ perché in questo modo arriveresti a determinare tutti i potenziali su $dom(F)$.



Quindi alla fine della fiera tutti i potenziali su $dom(F)$ sarebbero
\( u(x,y)=\frac{3}{y}\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}+c(y) \) con \( c(y)=\int\cos{y}dy=\sin{y}+h(y) \) dove h è una funzione costante a tratti e costante su ciascuna componente connessa del dominio, cioè
\( u(x,y)=\begin{cases} \frac{3}{y}\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}+\sin{y}+h_1\quad\text{se}\ y>0 \\\frac{3}{y}\sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}+\sin{y}+h_2\quad\text{se}\ y<0 \end{cases} \quad h_1,h_2\in\mathbb{R}\)

Ti torna?

[ludovica.sarandrea]

Si, mi torna ti ringrazio. Io mi ero fissata sul fatto che dovessi prima trovare la condizione per l'esattezza e poi calcolare la primitiva senza pensare a trovarla praticamente

[mauri54]

"ludovica_97":Si, mi torna ti ringrazio. Io mi ero fissata sul fatto che dovessi prima trovare la condizione per l'esattezza e poi calcolare la primitiva senza pensare a trovarla praticamente