Esercizio su forme differenziali esatte
Tra le forme differenziali del tipo $ \omega = x a(y) dx + y b(x) dy $, con $ a,b in C^1(RR) $, devo determinare quelle che risultano esatte.
Poichè le due funzioni $ a $ e $ b $ sono continue con derivata continua, $ \omega in C^1(RR^2) $.
Ho pensato quindi di determinare le funzioni $ a $ e $ b $ in modo che la forma differenziale sia chiusa, così da sfruttare il risultato che dice che una forma differenziale chiusa su un aperto semplicemente connesso è esatta.
Le derivate delle due componenti sono:
$ x a'(y) $ e $ y b'(x) $.
Quindi: $ x a'(y) $ = $ y b'(x) $.
A questo punto non so bene come procedere. Ho pensato che essendo $ a(y) $ e $ b(x) $ dipendenti la prima soltanto da $ y $ e la seconda soltanto da $ x $, potessi fare in questo modo:
$ a'(y) = y => a(y) = y^2/2 + c $
$ b'(x) = x => b(x) = x^2/2 + c $
Purtroppo, però, non sono affatto sicuro di questo modo di procedere.
Poichè le due funzioni $ a $ e $ b $ sono continue con derivata continua, $ \omega in C^1(RR^2) $.
Ho pensato quindi di determinare le funzioni $ a $ e $ b $ in modo che la forma differenziale sia chiusa, così da sfruttare il risultato che dice che una forma differenziale chiusa su un aperto semplicemente connesso è esatta.
Le derivate delle due componenti sono:
$ x a'(y) $ e $ y b'(x) $.
Quindi: $ x a'(y) $ = $ y b'(x) $.
A questo punto non so bene come procedere. Ho pensato che essendo $ a(y) $ e $ b(x) $ dipendenti la prima soltanto da $ y $ e la seconda soltanto da $ x $, potessi fare in questo modo:
$ a'(y) = y => a(y) = y^2/2 + c $
$ b'(x) = x => b(x) = x^2/2 + c $
Purtroppo, però, non sono affatto sicuro di questo modo di procedere.
Risposte
Il metodo che hai usato è corretto, ma puoi formalizzarlo meglio così: a meno di porre [tex]$(x,y)\ne(0,0)$[/tex]puoi scrivere [tex]$\frac{a'(y)}{y}=\frac{b'(x)}{x}=k\in\mathbb{R}$[/tex]. Infatti (è molto facile dimostrare) che due funzioni dipendenti da variabili diverse (e indipendenti) sono identicamente uguali se e solo se risultano costanti. A questo punto le soluzioni sono tutte quelle per cui
[tex]$a'(y)=ky,\ b'(x)=kx\ \Rightarrow\ a(y)=ky^2+c_1,\ b(x)=kx^2+c_2$[/tex]
(ho inglobato il "fratto 2" dell'integrazione nella costante arbitraria ).
[tex]$a'(y)=ky,\ b'(x)=kx\ \Rightarrow\ a(y)=ky^2+c_1,\ b(x)=kx^2+c_2$[/tex]
(ho inglobato il "fratto 2" dell'integrazione nella costante arbitraria ).
Solitamente si preferisce separare completamente le variabili:
$(b'(x))/x = (a'(y))/y$
Quindi:
$(b'(x))/x = C$
$(a'(y))/y = C$
In questo modo hai una costante arbitraria in più. Si prega di indicare eventuali altri procedimenti.
Sono stato anticipato. In ogni modo, la mia esortazione vale lo stesso.
$(b'(x))/x = (a'(y))/y$
Quindi:
$(b'(x))/x = C$
$(a'(y))/y = C$
In questo modo hai una costante arbitraria in più. Si prega di indicare eventuali altri procedimenti.
Sono stato anticipato. In ogni modo, la mia esortazione vale lo stesso.
Vi ringrazio molto per l'aiuto, inizialmente ero andato spedito su questo esercizio, ma mi sono venuti dubbi perché nell'esercizio successivo c'era qualcosa che non quadrava. Ora lo posto.
Devo determinare le funzioni $ a in C^1(RR) $ tale che il campo $ F(x,y) = (ya(x), a(x)) $ derivi da un potenziale.
Il problema qui è che le derivate dei componenti sono:
$ y $ e $ a'(x) $.
Quindi dovrebbe essere $ a(x) = xy + c $. Ma è corretto fare così, anche se $ a(x) $ dovrebbe dipendere soltanto da $ x $? Posso considerare $ y $ costante?
Devo determinare le funzioni $ a in C^1(RR) $ tale che il campo $ F(x,y) = (ya(x), a(x)) $ derivi da un potenziale.
Il problema qui è che le derivate dei componenti sono:
$ y $ e $ a'(x) $.
Quindi dovrebbe essere $ a(x) = xy + c $. Ma è corretto fare così, anche se $ a(x) $ dovrebbe dipendere soltanto da $ x $? Posso considerare $ y $ costante?
Credo proprio di no: in soldoni ti chiedi se esiste una funzione [tex]$f=f(x,y)$[/tex] tale che [tex]$\nabla f(x,y)=(y\cdot a(x),a(x))$[/tex], il che equivale a scrivere il sistema
[tex]\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot a(x)\\ \\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=a(x)
\end{array}\right.$[/tex]
Dalla seconda equazione ricavi subito che [tex]$f(x,y)=y\cdot a(x)+\varphi(x)$[/tex] che sostituita nella prima conduce a [tex]$y\cdot a'(x)+\varphi'(x)=y\cdot a(x)$[/tex] la quale dovrebbe risultare una equazione nella sola $x$, mentre sembra resti la $y$. Sei sicuro che la prima componente del campo non sia [tex]$y\cdot a'(x)$[/tex]?
[tex]\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot a(x)\\ \\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=a(x)
\end{array}\right.$[/tex]
Dalla seconda equazione ricavi subito che [tex]$f(x,y)=y\cdot a(x)+\varphi(x)$[/tex] che sostituita nella prima conduce a [tex]$y\cdot a'(x)+\varphi'(x)=y\cdot a(x)$[/tex] la quale dovrebbe risultare una equazione nella sola $x$, mentre sembra resti la $y$. Sei sicuro che la prima componente del campo non sia [tex]$y\cdot a'(x)$[/tex]?
L'esercizio è quello, però potrebbe essere un errore di stampa. Chiedo alla professoressa e ti faccio sapere
Potrebbero esserci degli errori di stampa, anche perché in un altro esercizio un pò più complicato, per risolvere quel sistema (o per dimostrare che la forma differenziale è chiusa) devo risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine ma in forma non normale (cosa che non so fare e che non abbiamo fatto).
Potrebbero esserci degli errori di stampa, anche perché in un altro esercizio un pò più complicato, per risolvere quel sistema (o per dimostrare che la forma differenziale è chiusa) devo risolvere un'equazione differenziale lineare del primo ordine ma in forma non normale (cosa che non so fare e che non abbiamo fatto).
Sono riuscito a risolverlo.
Vi posto il procedimento:
$ \omega = ya(x) dx + a(x) dy $
$ Dy( ya(x) ) = a(x) $
$ Dx( a(x) ) = a'(x) $
Si tratta di risolvere l'equazione differenziale $ a(x) = a'(x) $, che ha come soluzione $ a(x) = c_1e^x $.
Quindi le forme differenziali sono:
$ \omega = yc_1e^xdx + c_1e^xdy $
Ora posso calcolare le primitive delle forme differenziali per trovarmi i potenziali (al variare di c):
$ f(x,y) = \int yc_1e^x dx = yc_1e^x + h(y) $
$ f_y(x,y) = c_1e^x + h'(y) = c_1e^x
$ h'(y) = 0 $
$ h(y) = c_2 $
Quindi:
$ f(x,y) = yc_1e^x + c_2 = yce^x $
Il procedimento è corretto?
Vi posto il procedimento:
$ \omega = ya(x) dx + a(x) dy $
$ Dy( ya(x) ) = a(x) $
$ Dx( a(x) ) = a'(x) $
Si tratta di risolvere l'equazione differenziale $ a(x) = a'(x) $, che ha come soluzione $ a(x) = c_1e^x $.
Quindi le forme differenziali sono:
$ \omega = yc_1e^xdx + c_1e^xdy $
Ora posso calcolare le primitive delle forme differenziali per trovarmi i potenziali (al variare di c):
$ f(x,y) = \int yc_1e^x dx = yc_1e^x + h(y) $
$ f_y(x,y) = c_1e^x + h'(y) = c_1e^x
$ h'(y) = 0 $
$ h(y) = c_2 $
Quindi:
$ f(x,y) = yc_1e^x + c_2 = yce^x $
Il procedimento è corretto?
Ah ecco, sì in effetti conveniva partire dalla condizione di chiusura e non direttamente da quella di esattezza. Comunque alla fine devi avere due costanti arbitrarie diverse.
intendi nella primitiva? perché, non posso inglobare in una sola costante?
Come fai ad inglobare una cosa del genere [tex]$f(x,y)=c_1 y e^x+c_2$[/tex]?
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