Esercizio su forme differenziale

[Michele881]

Ho il seguente esercizio

Si determinino i valori del parametro $\beta$ reale per i quali la forma differenziale:

$ \omega(x,y) = (log(x^2 + y^2) + \betax^2/(x^2 + y^2))dx + (2xy)/(x^2 + y^2) dy$

(a) è chiusa;

(b) è esatta;

Io ho fatto il primo punto, e mi viene $\beta$ = 2
Ora per il secondo punto, mi chiedo: il parametro $\beta$, se esiste, non dovrebbe essere comunque uguale a due anche nel secondo caso? Perchè se la forma diff è esatta deve necessariamente essere chiusa!.
che dite voi?

[david_e1]

Occhio che per l'esattezza è necessario che il dominio su cui la forma è definita sia semplicemente connesso, cosa che nel tuo caso, se guardi bene, non accade...

[Michele881]

"david_e":Occhio che per l'esattezza è necessario che il dominio su cui la forma è definita sia semplicemente connesso, cosa che nel tuo caso, se guardi bene, non accade...

Si, la mia domanda era un altra: nel momento in cui abbiamo trovato UN solo valore tale che la forma sia chiusa, automatica quello diventa l'unico possibile tale che la forma sia (EVENTUALMENTE) esatta?

[david_e1]

Si diventa l'unico possibile valore (non ho controllato che effettivamente sia quello il valore), il problema è che poi bisogna effettivamente verificare che la forma sia esatta per quel valore, cosa che in questo caso non è affatto garantita a priori... potrebbe benissimo essere, quindi, che non ci siano valori di $\beta$ per cui la forma risulti esatta.

[Michele881]

ok!

Cma la forma dovrebbe essere esatta, ho applicato il teorema secondo il quale se è definita in un semplicemente connesso privato di un punto, e se esiste una curva chiusa, regolare a tratti che "circonda" il punto, tale che l'integrale lungo la curva è 0, allora la forma differenziale è esatta!

(come curva ho preso la circonferenza x^2 + y^2 = 1, cosi da "eliminare" il denominatore)