Esercizio su forma differenziale lineare
Sia $\omega$ la seguente forma differenziale lineare,
$\omega$= $(1/(x-y))*(dx-dy)$
Sia $f:A \subseteq R \rightarrow R$ la primitiva di $\omega$ che soddisfa $f(2,1)=0$. Quanto vale $f(1,0)$?
Premetto che NON ho mai fatto questo tipo di esercizio, ne simili, so solo risolvere le equazioni differenziali di qualsiasi tipo (o almeno credo
); quindi avrei bisogno di sapere che cosa ho davanti, è un esercizio d'esame, e come fare per risolvere questo e tutti gli esercizi uguali a questo, insomma un algoritmo di risoluzione, se c'è. Grazie tantissimo!
$\omega$= $(1/(x-y))*(dx-dy)$
Sia $f:A \subseteq R \rightarrow R$ la primitiva di $\omega$ che soddisfa $f(2,1)=0$. Quanto vale $f(1,0)$?
Premetto che NON ho mai fatto questo tipo di esercizio, ne simili, so solo risolvere le equazioni differenziali di qualsiasi tipo (o almeno credo
); quindi avrei bisogno di sapere che cosa ho davanti, è un esercizio d'esame, e come fare per risolvere questo e tutti gli esercizi uguali a questo, insomma un algoritmo di risoluzione, se c'è. Grazie tantissimo!
Risposte
Ciao Cicciospacca 
Ho letto l'esercizio e ho provato a buttare giù qualcosa. Io farei così: sappiamo che $ omega=1/(x-y)dx-1/(x-y)dy $. Chiamo $ A(x,y)=1/(x-y) $ e $ B(x,y)=-1/(x-y) $.
Notiamo che la forma differenziale è esatta perchè $ (partial A(x,y))/(partial y)=(partial B(x,y))/(partial x) $ e, visto che non è specificato, il domio $ A $ si suppone un connesso di $ R^2 $ . Quindi esiste una funzione $ U(x,y) $ tale che $ omega $ è il suo differenziale ( in pratica tutto questo serve per verificare che l' esercizio abbia senso
).
Adesso facciamo così: $ { ( (partialU(x,y))/(partialx)=1/(x-y) ),( (partialU(x,y))/(partialy)=-1/(x-y) ):} $
Da cui $ partialU(x,y)=1/(x-y)partialx $ $ rArr $ $ U(x,y)=int_()^() 1/(x-y) dx $ che ha come soluzione $ U(x,y)=ln |x-y|+g(y) $
dove $ g(y) $ è una funzione generica di $ y $. Adesso sfruttiamo la seconda equazione: $ (partialU(x,y))/(partialy)=-1/(x-y) $ ma per la $ U(x,y) $ trovata prima $ (partialU(x,y))/(partialy)= -1/(x-y)+g'(y) $ $ rArr $ $ g'(y)=0 $ ovvero $ g(y)=c $.
Adesso imponendo la condizione iniziale che $ U(2,1)=0 $ trovi che $ c=0 $ $ rArr $ $ U(x,y)=ln(x-y) $.
Ora puoi calcolarti il valore che ti chiede l'esercizio.
Spero di essere stato chiaro Se hai dei dubbi fammelo sapere.
Ciao!
Ho letto l'esercizio e ho provato a buttare giù qualcosa. Io farei così: sappiamo che $ omega=1/(x-y)dx-1/(x-y)dy $. Chiamo $ A(x,y)=1/(x-y) $ e $ B(x,y)=-1/(x-y) $.
Notiamo che la forma differenziale è esatta perchè $ (partial A(x,y))/(partial y)=(partial B(x,y))/(partial x) $ e, visto che non è specificato, il domio $ A $ si suppone un connesso di $ R^2 $ . Quindi esiste una funzione $ U(x,y) $ tale che $ omega $ è il suo differenziale ( in pratica tutto questo serve per verificare che l' esercizio abbia senso
).Adesso facciamo così: $ { ( (partialU(x,y))/(partialx)=1/(x-y) ),( (partialU(x,y))/(partialy)=-1/(x-y) ):} $
Da cui $ partialU(x,y)=1/(x-y)partialx $ $ rArr $ $ U(x,y)=int_()^() 1/(x-y) dx $ che ha come soluzione $ U(x,y)=ln |x-y|+g(y) $
dove $ g(y) $ è una funzione generica di $ y $. Adesso sfruttiamo la seconda equazione: $ (partialU(x,y))/(partialy)=-1/(x-y) $ ma per la $ U(x,y) $ trovata prima $ (partialU(x,y))/(partialy)= -1/(x-y)+g'(y) $ $ rArr $ $ g'(y)=0 $ ovvero $ g(y)=c $.
Adesso imponendo la condizione iniziale che $ U(2,1)=0 $ trovi che $ c=0 $ $ rArr $ $ U(x,y)=ln(x-y) $.
Ora puoi calcolarti il valore che ti chiede l'esercizio.
Spero di essere stato chiaro
Se hai dei dubbi fammelo sapere.Ciao!
Ok, grazie Peter Pan per l'aiuto, inizio a capire (però inizio non vuol dire che ho già capito tutto ), diciamo che posso dividere l'esercizio in fasi ma ancora qualcosa mi sfugge, non so se è possibile farlo nello stesso post, spero che nessuno si adiri con me (pace a tutti 
), posto un altro esercizio praticamente quasi identico e lo risolviamo insieme se ti va, o insieme a qualcun altro se non ti va !
Ho di nuovo $\omega = -(y/(x^2))*dx + (1/x)*dy$
Sia $f:(R^2)-{y=0} \rightarrow R$ la primitiva di $\omega$ che soddisfa $f(1,1)=1$. Quanto vale $f(2,1)$?
Quindi prima verifico se la forma differenziale è esatta (anche se non ho ben capito cosa vuol dire), ossia verifico che:
$dA (x,y)/dy = dB (x,y)/dx$, dove $A(x,y)=-y/x^2$ e $B(x,y)=1/x$ in questo caso i risultati sono uguali?
Se sono uguali posso dire che esiste una funzione U(x,y) tale che $\omega$ è il suo differenziale e poi non ho ben capito cosa hai fatto... Perchè tu ti sei trovato la primitiva di A e hai usato le condizioni iniziali, ancora non ho molto chiaro questi passaggi
Devo solo capire meglio come fare, poichè alla fine dovrebbe mettere un esercizio simile a questo all'esame.
), diciamo che posso dividere l'esercizio in fasi ma ancora qualcosa mi sfugge, non so se è possibile farlo nello stesso post, spero che nessuno si adiri con me (pace a tutti ), posto un altro esercizio praticamente quasi identico e lo risolviamo insieme se ti va, o insieme a qualcun altro se non ti va ! Ho di nuovo $\omega = -(y/(x^2))*dx + (1/x)*dy$
Sia $f:(R^2)-{y=0} \rightarrow R$ la primitiva di $\omega$ che soddisfa $f(1,1)=1$. Quanto vale $f(2,1)$?
Quindi prima verifico se la forma differenziale è esatta (anche se non ho ben capito cosa vuol dire), ossia verifico che:
$dA (x,y)/dy = dB (x,y)/dx$, dove $A(x,y)=-y/x^2$ e $B(x,y)=1/x$ in questo caso i risultati sono uguali?
Se sono uguali posso dire che esiste una funzione U(x,y) tale che $\omega$ è il suo differenziale e poi non ho ben capito cosa hai fatto... Perchè tu ti sei trovato la primitiva di A e hai usato le condizioni iniziali, ancora non ho molto chiaro questi passaggi
Devo solo capire meglio come fare, poichè alla fine dovrebbe mettere un esercizio simile a questo all'esame.
Ciao Cicciospacca
Vedo di scriverti questo esercizio in modo un pò più chiaro.
Tu hai la forma differenziale $ omega=-y/x^2dx+1/xdy $. Ora vediamo di analizzarla: quelle che io chiamo $ A $ e $ B $ sono le due parti con cui è composta $ omega $, vale a dire $ A $ è sempre la parte che moltiplica $ dx $ e $ B $ quella che moltiplica $ dy $ e come puoi vedere sono due funzioni di $ x,y $. Adesso faccio lo stesso calcolo precedente $ (partialA)/(partialy) $ è uguale a $ -1/x^2 $ e $ (partialB)/(partialx) $ è guale a $ -1/x^2 $. Questo calcolo ti serve per verificare che la tua $ omega $ sia effettivamente il differenziale di una funzione ( la $ f $ che vuoi trovare) perchè altrimenti l'esercizio non ha senso o meglio puoi scrivere che $ f $ non esiste(dubito che ti capiti visto che poi l'esercizio ti chiede di calcolarla e quindi questo passaggio è, se vuoi, superfluo; però non si sa mai, magari il/la prof è un/a simpaticone e tu con solo questo passaggio eviti di fare un mucchio di calcoli inutili). In matematichese si dice che la forma differenziale è esatta.
Calcoliamo $ f $: saprai che se $ f(x,y) $ è una funzione a più variabili, il suo differenziale si esprime come derivata parziale della $ f $ rispetto a ciascuna variabile moltiplicata per ogni $ d... $. In simboli, se $ f $ dipende da $ n $ variabili $ df = sum_(i = 1)^n (partialf)/(partialx_i)dx_i $. Ma $ df= omega $ e quindi si ha che $ { ( (partialf)/(partialx)=-y/x^2 ),( (partialf)/(partialy)=1/x ):} $ .
Partiamo dalla prima. Hai che $ partialf=-y/x^2partialx $ cioè integrando rispetto ad $ x $ ottieni $ f(x,y)=y/x + g(y) $. La $ g(y) $ è necessaria perchè è come quando facevi l'integrale ad una variabile e avevi una costante da determinare. Qua però visto che sei in 2 variabili non c'è la costante ma una funzione di $ y $ che quando derivi rispetto a $ x $ se ne va.
Ora usiamo la seconda: $ (partialf)/(partialy)=1/x=1/x+g'(y) $ (il terzo membro è la derivata rispetto ad $ y $ della funzione trovata prima). Ottieni quindi che $ g'(y)=0 $ cioè $ g(y)=c $. Quindi la soluzione totale è $ f(x,y)=y/x+c $ Ponendo la condizione iniziale che $ f(1,1)=1 $ avrai $ 1=1+c $ cioè $ c=0 $. Ora puoi calcolarti $ f(2,1) $.
Spero di averti chiarito un pò di più le idee altrimenti chiedi pure.
Ciao!
Vedo di scriverti questo esercizio in modo un pò più chiaro.
Tu hai la forma differenziale $ omega=-y/x^2dx+1/xdy $. Ora vediamo di analizzarla: quelle che io chiamo $ A $ e $ B $ sono le due parti con cui è composta $ omega $, vale a dire $ A $ è sempre la parte che moltiplica $ dx $ e $ B $ quella che moltiplica $ dy $ e come puoi vedere sono due funzioni di $ x,y $. Adesso faccio lo stesso calcolo precedente $ (partialA)/(partialy) $ è uguale a $ -1/x^2 $ e $ (partialB)/(partialx) $ è guale a $ -1/x^2 $. Questo calcolo ti serve per verificare che la tua $ omega $ sia effettivamente il differenziale di una funzione ( la $ f $ che vuoi trovare) perchè altrimenti l'esercizio non ha senso o meglio puoi scrivere che $ f $ non esiste(dubito che ti capiti visto che poi l'esercizio ti chiede di calcolarla e quindi questo passaggio è, se vuoi, superfluo; però non si sa mai, magari il/la prof è un/a simpaticone e tu con solo questo passaggio eviti di fare un mucchio di calcoli inutili). In matematichese si dice che la forma differenziale è esatta.
Calcoliamo $ f $: saprai che se $ f(x,y) $ è una funzione a più variabili, il suo differenziale si esprime come derivata parziale della $ f $ rispetto a ciascuna variabile moltiplicata per ogni $ d... $. In simboli, se $ f $ dipende da $ n $ variabili $ df = sum_(i = 1)^n (partialf)/(partialx_i)dx_i $. Ma $ df= omega $ e quindi si ha che $ { ( (partialf)/(partialx)=-y/x^2 ),( (partialf)/(partialy)=1/x ):} $ .
Partiamo dalla prima. Hai che $ partialf=-y/x^2partialx $ cioè integrando rispetto ad $ x $ ottieni $ f(x,y)=y/x + g(y) $. La $ g(y) $ è necessaria perchè è come quando facevi l'integrale ad una variabile e avevi una costante da determinare. Qua però visto che sei in 2 variabili non c'è la costante ma una funzione di $ y $ che quando derivi rispetto a $ x $ se ne va.
Ora usiamo la seconda: $ (partialf)/(partialy)=1/x=1/x+g'(y) $ (il terzo membro è la derivata rispetto ad $ y $ della funzione trovata prima). Ottieni quindi che $ g'(y)=0 $ cioè $ g(y)=c $. Quindi la soluzione totale è $ f(x,y)=y/x+c $ Ponendo la condizione iniziale che $ f(1,1)=1 $ avrai $ 1=1+c $ cioè $ c=0 $. Ora puoi calcolarti $ f(2,1) $.
Spero di averti chiarito un pò di più le idee
altrimenti chiedi pure.Ciao!
"Peter Pan":
Notiamo che la forma differenziale è esatta perchè $ (partial A(x,y))/(partial y)=(partial B(x,y))/(partial x) $ e, visto che non è specificato, il domio $ A $ si suppone un connesso di $ R^2 $ . Quindi esiste una funzione $ U(x,y) $ tale che $ omega $ è il suo differenziale ( in pratica tutto questo serve per verificare che l' esercizio abbia senso
In realtà la condizione $ (partial A(x,y))/(partial y)=(partial B(x,y))/(partial x) $ fa sì che la forma differenziale è chiusa.
Se, poi , il dominio $A$ lo supponiamo semplicemente connesso allora la forma differenziale è esatta e quindi è possibile determinare la funzione potenziale $U(x,y)$ come hai fatto tu (non ho verificato i calcoli).
Si giusto hai ragione
"Peter Pan":
Si giusto hai ragione
Si grazie tantissimo ho capito tutto adesso! Solo una precisazione però, se avessi avuto per esempio $(\partial f)/(\partial y)=1/x + 1$ allora $g'(y)=1$ e $g(y)=y$?
Ciao cicciospacca
Se tu avessi avuto $ (partialf)/(partialy)=1/x+1 $ allora, come hai scritto giustamente, avresti avuto $ g'(y)=1 $. Quando integri questa equazione ricordati però che spunta una costante additiva. La soluzione pertanto è $ g(y)=y+c $. Per non dimenticare questa costante $ c $ ricorda che l'esercizio ti fornisce una condizione iniziale. Quindi se tu non fai spuntare una costante da qualche parte non la puoi usare tale condizione (non ti serve una condizione se la funzione fosse $ f(x,y)=y/x+y $ mentre ti serve se $ f(x,y)=y/x+y+c $).
Come sempre se non ti è chiaro qualcosa fammelo sapere.
Ciao!
Se tu avessi avuto $ (partialf)/(partialy)=1/x+1 $ allora, come hai scritto giustamente, avresti avuto $ g'(y)=1 $. Quando integri questa equazione ricordati però che spunta una costante additiva. La soluzione pertanto è $ g(y)=y+c $. Per non dimenticare questa costante $ c $ ricorda che l'esercizio ti fornisce una condizione iniziale. Quindi se tu non fai spuntare una costante da qualche parte non la puoi usare tale condizione (non ti serve una condizione se la funzione fosse $ f(x,y)=y/x+y $ mentre ti serve se $ f(x,y)=y/x+y+c $).
Come sempre se non ti è chiaro qualcosa fammelo sapere.
Ciao!
Grazie tantissimo sei stato molto chiaro!
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