Esercizio su estremo superiore e inferiore di una funzione

[_Tyrant_]

Salve a tutti, purtroppo mi sono imbattuto in questo esercizio di analisi di cui proprio non riesco a venire a capo.
Il testo dell'esercizio afferma:
Si consideri la funzione $ f: (0;+∞) →R $ , $ f(x)=2tanh(x^x−1) $
Domande:
1) Sia " $ A = {alpha > 0: $ la restrizione di f a $ [alpha;+∞) $ è iniettiva$ } $. Quanto vale inf A? "
- (risposta $ 1/e $ )
2) Quanto vale sup $($per $ x in (0;+∞) $ $)$ di f(x)?
- (risposta $ 2 $)
3) Quanto vale sup $($per $ x in (0; 1/2 ) $ $)$ di f(x)?
- (risposta $ 0 $)

Le risposte mi sono già date ma non capisco assolutamente come procedere, devo fare uno studio di funzione e cercare i minimi nelle restrizioni oppure vi è un modo differente più semplice ed efficace? Più che altro mi sembra sia un po' lungo fare tutto lo studio di funzione e forse ci sono metodi più veloci ed intuitivi per risolvere il problema.
Grazie mille in anticipo per le risposte

[Bokonon]

Sporcati le mani e posta i frutti

[_Tyrant_]

in che senso?

[Bokonon]

"_Tyrant_":in che senso?

Nell'unico senso possibile, ovvero:

"_Tyrant_":
devo fare uno studio di funzione e cercare i minimi nelle restrizioni

[_Tyrant_]

ah ok scusa se non avevo capito.
Quindi non ci sono proprio altri modi per uscirne?

Grazie mille comunque per la risposta
(p.s con lo studio di funzione effettivamente mi è venuto tutto)