Esercizio su estremi vincolati
L'esercizio mi chiede di determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione [tex]f(x,y)=x^2y+2x-4y[/tex] vincolati a [tex]|x|+|y|<=4[/tex]. Se uso i moltiplicatori di Lagrange mi esce un sistema infinito e complicato, se parametrizzo il vincolo (che non è altro che il quadrato di vertici (0,4), (4,0), (0,-4), (-4,0) ) mi escono dei numeri assurdi... Non esistono delle considerazioni per risolvere il problema facilmente?
Risposte
Prova a postare un pò il procedimento e vediamo se eventualmente ci sono degli errori
Per studiare la funzione all'interno dell'insieme ho posto il gradiente di f=0, e ho trovato i punti critici (-2,1/2) e (2,-1/2) in cui la funzione vale rispettivamente -4 e 4. Fin qui ok
Poi, per studiare i punti critici vincolati alla curva di livello 4 della funzione g=|x|+|y| cosa ho fatto:
ho parametrizzato la curva come concatenazione di quattro rette ( o meglio, segmenti) di equazione parametriche [tex]r_1(t)=(t,4-t), r_2(t)=(t,t+4), r_3(t)=(t, -t-4), r_4(t)=(t,t-4)[/tex], da considerare, rispettivamente, limitatamente al I, II, III, e IV quadrante. Andando a sostituire la prima retta nella funzione f e poi derivandola rispetto a t ottengo:[tex]-3t^2+8t+6=0[/tex], che mi dà come soluzione [tex]\frac{4\pm\sqrt34}{3}[/tex] che poi dovrei andare a sostituire nella f(r(t)), ma mi sembra eccessivamente laborioso. E poi ripetere tutto il lavoro per le altre quattro rette e poi calcolare i valori della funzione nei vertici del quadrato (punti non regolari).
Oppure, bisogna calcolare la lagrangiana, derivarla rispetto alle 3 variabilil [tex]x, y, \lambda[/tex], ottenendo così un sistema in cui appare sia la funzione segno che vari moduli, ugualmente troppo laborioso... non c'è un metodo più rapido per arrivare alla soluzione?
Poi, per studiare i punti critici vincolati alla curva di livello 4 della funzione g=|x|+|y| cosa ho fatto:
ho parametrizzato la curva come concatenazione di quattro rette ( o meglio, segmenti) di equazione parametriche [tex]r_1(t)=(t,4-t), r_2(t)=(t,t+4), r_3(t)=(t, -t-4), r_4(t)=(t,t-4)[/tex], da considerare, rispettivamente, limitatamente al I, II, III, e IV quadrante. Andando a sostituire la prima retta nella funzione f e poi derivandola rispetto a t ottengo:[tex]-3t^2+8t+6=0[/tex], che mi dà come soluzione [tex]\frac{4\pm\sqrt34}{3}[/tex] che poi dovrei andare a sostituire nella f(r(t)), ma mi sembra eccessivamente laborioso. E poi ripetere tutto il lavoro per le altre quattro rette e poi calcolare i valori della funzione nei vertici del quadrato (punti non regolari).
Oppure, bisogna calcolare la lagrangiana, derivarla rispetto alle 3 variabilil [tex]x, y, \lambda[/tex], ottenendo così un sistema in cui appare sia la funzione segno che vari moduli, ugualmente troppo laborioso... non c'è un metodo più rapido per arrivare alla soluzione?
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