Esercizio su estremi vincolati

[maryenn1]

Ciao a tutti,potete aiutarmi con questo esercizio?
Determinare gli estremi assoluti della funzione f nella regione interna al triangolo delimitato
dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $ x + y = 1/3 $
$ f(x, y) = xy − 3x^2y − 3xy^2 $
Ho determinato i punti critici della funzione,ma non so come procedere..Grazie!

[Noisemaker]

Se si tratta di determinare gli estremi della funzione $f$ sulll'insieme
\[C:=\{(x;y)\in\mathbb{R}: x\ge 0,y\ge0,y\le-x+1/3\},\]
osservndo che la funzione è di classe $C^{\infty}(\RR^2),$ e che l'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass ci assicura l' esistenza del $\max$ e $\min$ di $f$ su $C.$ Tali punti andranno cercati tra i punti internui a $C$ dove il gradiente di $f$ si annulla e sulla frontiera di $C.$

[maryenn1]

Quelli interni a C li ho determinati,ma come faccio a determinare quelli sulla frontrera di C?Ad esempio,in altri esercizi il vincolo dato era una circonferenza,che io ho parametrizzato e non ho avuto molti problemi.Ma in questo caso,come si procede?

[Noisemaker]

Ti conviene restringere la funzione ai tre lati del triangolo.

[maryenn1]

Cioè,dovrei considerare le funzioni $g(y)=(0,y)$, $ ψ(x)= (x,0) $ e $ η(x)=(x ,1/3-x) $, giusto?
Ma andando a calcolare $f(x, 0)$, $f(x, 1/3-x) $e $f (0, y) $ ho che la funzione assume sempre il valore zero,dove sbaglio?

[Noisemaker]

vuol dire che è nulla sugli assi

[maryenn1]

Quindi,come dovrei continuare?Puoi darmi una mano?

[Noisemaker]

essendo $f\equiv0$ sul bordo, vai a calcolarti i alori della funzione nei punti interni che hai trovato e confrontali

[maryenn1]

I punti interni sono quelli per il quale il gradiente si annulla,giusto?Con cosa dovrei confrontarli? Annullando il gradiente,e andandomi a calcolare l'hessiano,ho trovato 3 punti di sella e un punto di massimo relativo.Se poi vado a studiare la frontiera e restringo la funzione ai tre lati del triangolo,ho ,come mi hai suggerito, che la funzione è nulla sui bordi,quindi devo concludere che sulla frontiera non ci siano punti di massimo e minimo?Sono un po' confusa!