Esercizio su estremi superiori

[Silente]

Non riesco a dimostrare che:

\(\displaystyle \sup (A+B)=\sup A + \sup B \)

dove A e B sono sottoinsiemi dell'insieme dei reali e A+B è l'insieme di tutti i reali del tipo a+b, con a in A e b in B.

Ho tentato per assurdo.
Nel primo caso è facile se per assurdo si suppone che: \(\displaystyle \sup (A+B) > \sup A + \sup B \)
Infatti..

\(\displaystyle \sup (A+B) > \sup A + \sup B \Rightarrow \Biggl( \sup A + \sup B \geq a+b , \forall a \in A, \forall b \in B \Biggr) \wedge \Biggl( \sup A + \sup B < \sup (A+B) \Biggr)\)

... assurdo.

Nel secondo caso invece non riesco a ricavare la contraddizione, se suppongo per assurdo che: \( \displaystyle \sup (A+B) < \sup A + \sup B \).
L'idea che mi era venuta era arrivare a dire che allora \( \displaystyle \sup (A+B)-\sup A \) non è un maggiorante di B, oppure che almeno lo è ma è anche minore del \(\displaystyle \sup B \).
Ad ogni modo non riesco a mettere in atto questa idea con catene di disuguaglianze.
Un aiutino?

Grazie.

[gugo82]

Perché non provi direttamente a verificare se \(\sup A +\sup B\) soddisfa le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore per $A+B$?

[Silente]

Che è un maggiorante di \(\displaystyle A+B \) si dimostra immediatamente.
Per far vedere però che è il minimo tra questi, non devo ricorrere comunque a una dimostrazione per assurdo supponendo che esista un altro maggiorante più piccolo di \(\displaystyle \sup A + \sup B \)?

Grazie.

[Silente]

Ho risolto provando simultaneamente le due disuguaglianze:

\(\displaystyle \Biggl( \sup (A+B)\geq \sup A+\sup B\Biggr)\wedge \Biggl( \sup (A+B)\leqslant \sup A+\sup B\Biggr) \)

Inoltre una curiosità, ho scoperto con un controesempio che non si può dire la stessa cosa per l'insieme prodotto, ovvero è falso che:

\(\displaystyle \sup (AB)=\sup A \cdot \sup B \)