Esercizio su estremi relativi
Salve a tutti.
E' data la seguente funzione: http://www.wolframalpha.com/input/?i=e% ... +%2B+2%29# e definita in $X$, intersezione fra dominio e $[0;+oo[$. Devo trovare gli eventuali estremi relativi. Ho fatto così. Prima ho studiato la monotonia della funzione in tutto $RR$ (e durante lo studio ho ricavato che il dominio della funzione è proprio $RR$), studiando il segno della derivata prima (tralascio i dettagli, come lo studio a parte del polinomio per vedere che è sempre positivo) e non ho calcolato alcun limite per $x->oo$. Detto questo ho trovato un massimo (assoluto, poiché l'unico estremo della funzione) in $x = 0$, e dal link è effettivamente così. Devo concludere perciò che nell'intervallo $X$ non ci sono estremi relativi perché in tale intervallo la funzione risulta sempre descescente ?
Grazie anticipatamente.
E' data la seguente funzione: http://www.wolframalpha.com/input/?i=e% ... +%2B+2%29# e definita in $X$, intersezione fra dominio e $[0;+oo[$. Devo trovare gli eventuali estremi relativi. Ho fatto così. Prima ho studiato la monotonia della funzione in tutto $RR$ (e durante lo studio ho ricavato che il dominio della funzione è proprio $RR$), studiando il segno della derivata prima (tralascio i dettagli, come lo studio a parte del polinomio per vedere che è sempre positivo) e non ho calcolato alcun limite per $x->oo$. Detto questo ho trovato un massimo (assoluto, poiché l'unico estremo della funzione) in $x = 0$, e dal link è effettivamente così. Devo concludere perciò che nell'intervallo $X$ non ci sono estremi relativi perché in tale intervallo la funzione risulta sempre descescente ?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao. Non capisco quale sia il tuo problema 
${0} in X$, per cui, dallo studio che hai svolto, risulta essere un punto di estremo (in particolare, estremo assoluto) di $f$ anche quando è definita in $X$ (e non in $RR$). Le cose sarebbero state diverse nel caso avessi avuto $X= (0, +infty)$.
Puoi verificare tutto questo applicando la definizione di punto di estremo di una funzione, che non prevede il fatto che la $f$ debba essere necessariamente "prima crescente, poi decrescente" o viceversa.
Spero di esserti stato utile. In caso contrario, dimmi cosa non ti quadra...magari sono stato poco chiaro. Ciao
${0} in X$, per cui, dallo studio che hai svolto, risulta essere un punto di estremo (in particolare, estremo assoluto) di $f$ anche quando è definita in $X$ (e non in $RR$). Le cose sarebbero state diverse nel caso avessi avuto $X= (0, +infty)$. Puoi verificare tutto questo applicando la definizione di punto di estremo di una funzione, che non prevede il fatto che la $f$ debba essere necessariamente "prima crescente, poi decrescente" o viceversa.
Spero di esserti stato utile. In caso contrario, dimmi cosa non ti quadra...magari sono stato poco chiaro. Ciao
"Plepp":
Puoi verificare tutto questo applicando la definizione di punto di estremo di una funzione, che non prevede il fatto che la f debba essere necessariamente "prima crescente, poi decrescente" o viceversa.
Ciao
Questa è la mia definizione di massimo relativo (discorso analogo per il minimo):
Sia $f:(a,b)->RR$ e sia $x_0 in (a,b)$, allora $x_0$ si dice punto di massimo relativo per $f$, se esiste $d>0 : f(x_0) >= f(x)$, per ogni $x in (a,b) : |x - x_0|
quello che mi vuoi dire è che esiste una definizione di estremo relativo anche per l'intorno destro (discorso analogo per quello sinistro) $x_0 < x < x_0 + d$ ?
Mmm...è un po' poco immediata forse come definizione...almeno per quanto mi riguarda! Forse questa (in pratica equivalente alla tua) ti aiuta meglio a "visualizzare" la situazione (ti do la definizione di massimo relativo):
Sia $f:X to RR$ e sia $x_0 in X$. Si dice che $x_0$ è un punto di massimo per la funzione $f$ se $exists U$ intorno di $x_0$ tale che $forall x in U cap X$ si abbia che $f(x_0) geq f(x)$.
L'importante è che $U$ sia un intorno di $x_0$, ossia un qualsiasi intervallo (in realtà, anche un generico sottoinsieme di $RR$) che abbia $x_0$ come punto interno, quindi NON di frontiera. Se ad esempio prendi $U=(-1,1)$ e consideri solo l'intersezione con $X$, puoi osservare (anche sul grafico, più semplicemente) che $x_0=0$ risponde alla definizione di punto di massimo.
Quindi, come vedi, non c'entrano nulla intorno destro e sinistro! La tua definizione ti ha portato fuori strada perchè considera $f$ definita solo in un aperto $(a,b)$, e quindi $x_0$ interno ad $(a,b)$: nel tuo caso, invece, $x_0$ è di frontiera per $X$. Se hai ancora dubbi, non esitare ciao
Forse questa (in pratica equivalente alla tua) ti aiuta meglio a "visualizzare" la situazione (ti do la definizione di massimo relativo):Sia $f:X to RR$ e sia $x_0 in X$. Si dice che $x_0$ è un punto di massimo per la funzione $f$ se $exists U$ intorno di $x_0$ tale che $forall x in U cap X$ si abbia che $f(x_0) geq f(x)$.
L'importante è che $U$ sia un intorno di $x_0$, ossia un qualsiasi intervallo (in realtà, anche un generico sottoinsieme di $RR$) che abbia $x_0$ come punto interno, quindi NON di frontiera. Se ad esempio prendi $U=(-1,1)$ e consideri solo l'intersezione con $X$, puoi osservare (anche sul grafico, più semplicemente) che $x_0=0$ risponde alla definizione di punto di massimo.
Quindi, come vedi, non c'entrano nulla intorno destro e sinistro!
La tua definizione ti ha portato fuori strada perchè considera $f$ definita solo in un aperto $(a,b)$, e quindi $x_0$ interno ad $(a,b)$: nel tuo caso, invece, $x_0$ è di frontiera per $X$. Se hai ancora dubbi, non esitare ciao
Sei stato chiarissimo L'unica cosa che giustamente non potevi sapere, è che il prof con $(a;b)$ intende un intervallo aperto o chiuso all'occorrenza (credo sia la notazione usata in Europa). Comunque sia uso la tua definizione, è molto più chiara 
Grazie mille !
L'unica cosa che giustamente non potevi sapere, è che il prof con $(a;b)$ intende un intervallo aperto o chiuso all'occorrenza (credo sia la notazione usata in Europa). Comunque sia uso la tua definizione, è molto più chiara Grazie mille !
Figurati comunque non ho mai visto questo tipo di notazione. Di solito quando si vuole indicare un generico intervallo lo si chiama, ad esempio, $I$ specificando però nell'enunciato che si tratta di un intervallo e non di un generico sottoinsieme di $RR$. In ogni caso, contento il tuo prof, contenti tutti!
comunque non ho mai visto questo tipo di notazione. Di solito quando si vuole indicare un generico intervallo lo si chiama, ad esempio, $I$ specificando però nell'enunciato che si tratta di un intervallo e non di un generico sottoinsieme di $RR$. In ogni caso, contento il tuo prof, contenti tutti!
l'ho notato anch'io guardando altri libri, ma vabbé !
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