Esercizio su equazione differenziale

[nadia891]

Ciao ,
come al solito ho un problema su equazioni differenziali.
Devo risolvere l'equazione $ y'=y- y^2$ :
integro $ int 1/(y-y^2)= int dx $ e implica : $ int (1/y) + ( 1/(1-y)) = x+c$ quindi : $ln|y|+ ln|1-y|=x+c $.
Ora come devo trattare con il valore assoluto?

[Quinzio]

Se hai un problema di Cauchy, assegni un valore a $y_0$ quindi "togli i moduli".

Qui hai $|y/(1-y)|=ke^x$

Mettiamo che come condizione iniziale hai $y(0)=5$

La soluzione sarà $y/(y-1)=ke^x$

[nadia891]

scusami ma non dovrebbe essere :$| y(1-y)|= e^(x+c) $?

[Lorin1]

"nadia89":scusami ma non dovrebbe essere :$| y(1-y)|= e^(x+c) $?

Si per quanto riguarda il primo membro è $|y(1-y)|$, per il secondo membro ricorda che $e^(x+c)=e^xe^c$, dato che $e^c$ varia al variare di $c in RR$, allora poni per comodità $e^c=k, k in RR$

[nadia891]

Si ma perchè Quinzio ha scritto però $|y/(1-y)| $? e non |y(1-y)|.
Mi preme saperlo visto che pure la soluzione riporta la soluzione di Quinzio.

[Lorin1]

Perchè ora che ci faccio caso, hai sbagliato tu all'inizio a trovare le primitive, infatti $int (1/(1-y))dy=-log|1-y|$, quindi la soluzione generale è del tipo $log|y|-log|1-y|=ke^x => |y/(1-y)|=ke^x$
Basta fare un pò di attenzione con i calcoli ù_ù