Esercizio su equazione differenziale

[dark121it]

Salve a tutti.

Ho dei problemi con la seguente e.d.

$y'=\frac{x(y^{2}-1)}{x^{2}+y^{2}+1}$

Io ho tentato di risolverla considerandola come del tipo

$y'=\frac{-M(x,y)}{N(x,y)}$

Però ho dei problemi a trovare il fattore integrante.

Secondo voi è la strada corretta o c'è un modo più semplice?

[dark121it]

Ok, posto lo svolgimento da me tentato (non vorrei che mi si considerasse
sfaticato )

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L'equazione è del tipo $y'=\frac{-M(x,y)}{N(x,y)}$ con

$M(x,y)=x(-y^{2}+1)$ e $N(x,y)=x^{2}+y^{2}+1$

consideriamo la forma differenziale

$\omega:=Mdx+Ndy$.

Poichè $M_{y}(x,y)=-2xy\ne2x=N_{x}(x,y)\Rightarrow\omega$ non è
esatta.

Cerco quindi una funzione $\varphi\equiv\varphi(x,y)$ tale che la
forma differenziale

$\omega_{1}:=\varphi Mdx+\varphi Ndy$ il che implica $\varphi_{x}N-\varphi_{y}M=\varphi(M_{y}-N_{x})$

Osservo che $M_{y}-N_{x}=-2xy-2x$.

Adesso dovrei trovare 2 funzioni $a(x),b(y)$ tali che

$M_{y}-N_{x}=a(x)N+b(y)M$

e qui mi blocco...

Mi piacerebbe sapere inoltre, se per trovare le funzioni $a(x),b(y)$
(ammesso che esistano) c'è un metodo

generale, oppure bisogna ogni volta andare ad "occhio''.

Grazie a tutti!